Ex-2 関数の極限値

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{1 - x} \left(\dfrac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20 \right) \)を求めよ。
問題解答
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Ex-3 不定積分

微分可能な関数\(f(x)\)が任意の実数 \(x\) , \(y\) に対して \(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\) を満たすとき、
\(f(x)\)はどのような関数か。
問題解答
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Ex-4 1の立方根

3次方程式 \(z^3 - 1 = 0\)の１と異なる２つの解を \(z_{1}, z_{2}\) とする.
(1) \(\displaystyle z_{1} + z_{2}\) を求めよ. (2) \(\displaystyle z_{1}^{8} + z_{2}^{8}\) の値を求めよ.
(3) \(\displaystyle z_{1}^n + z_{2}^n\) の値を求めよ.ただし,  \(n\) は正の整数とする.
問題解答
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Ex-5 1の立方根

方程式 \(x^2 + x + 1 = 0\) の虚根の一つを \(\omega\) とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 等式 \((x+1)(x+ \omega)(x+ \omega^2)=(1+x)(1+ \omega x )(1+ \omega^2 x) \)の成り立つことを証明せよ.
(2) \(n\) を任意の自然数とするとき, \(\omega^n\) の値を求めよ.
(3) 自然数 \(n\) は奇数であるが３の倍数でないとき、 \((x+1)^n-x^n-1 \)  は  \(x^2+x+1\) で割り切れることを証明せよ.
問題解答
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Ex-6 ２次不等式

連立方程式 \[ \left\{ \begin{flalign} 2x + y + z &= 1  \cdot\cdot\cdot ①&\\ x + 2y + z &= k  \cdot\cdot\cdot ②&\\ x + y + 2z &= 2k^2  \cdot\cdot\cdot ③& \end{flalign} \right. \] の解\(x\), \(y\), \(z\)が全て正であるとき、 \(k\) はどんな範囲にあるか.
問題解答
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Ex-7 共役複素数

次の式で表される数のうち、実数のものと純虚数のものを選べ.
(1) \(z^2 - \overline{z^2} \)   (2) \(\alpha \overline{\beta} -\beta \overline{\alpha} \)   (3) \(\dfrac{\alpha \overline{\beta} +\overline{\alpha} \beta}{\alpha \overline{\alpha} -1} \)
問題解答
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Ex-8 関数の極限

次の極限値を求めよ.
(1) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \tan x}{\sqrt{1 + x} - 1}\)  (2) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(\sqrt{x^2 - x} - x \right) \sin \dfrac{1}{x} \)  (3) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 - x^2} - \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)}{\sin^4 x} \)

(4) \(\displaystyle \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x - \dfrac{\pi}{2} \sin x}{x - \dfrac{\pi}{2}} \)   (5) \(\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \dfrac{\sin x - \sin \alpha}{\sin \left(x - \alpha \right)}\)   (6) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(1 - \cos x \right)}{x^2}\)

問題解答
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Ex-9 微分可能性と連続性

\(f(x)\)と\(g(x)\)は[-1 , 1]で定義された関数で、常に\(|g(x)| \leqq f(x)\)であるとする.\(f(x)\)が微分可能で,かつ\(f(0) = 0\) ならば、\(g'(0) = 0\)であることを証明せよ。

問題解答
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