問題から、何とか\(g'(0)\)が不等号で挟まれ、最左と最右の条件で証明できないか、と考えるだろう。
まず,\(|A|の形は0 \leqq |A|\)であるから、\(0 \leqq f(x) \cdot\cdot\cdot ①\)である.
\(f(x)は点0で微分可能であるから、点0での左方・右方それぞれの微分係数(左への微係数＝右への微係数)が一致するという論理が成り立つ。そこで、\)
\(\displaystyle 左への微係数f'(0) = \lim_{x \to -0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to -0} \dfrac{f(x)}{x} \leqq 0  \cdot\cdot\cdot ② \) \(x\)は0の左方であるから負である.ゆえに①より②の最右の項は非正である.
\(\displaystyle 右への微係数f'(0) = \lim_{x \to +0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to +0} \dfrac{f(x)}{x} \geqq 0  \cdot\cdot\cdot ③ \) \(x\)は0の右方であるから正である.ゆえに①より③の最右の項は非負である.
②と③より,\(f'_{-} (0) \leqq 0 \leqq f'_{+} (0) \)で\(f'(0) = 0 \)である.
[(注)\(f'_{-}(a), f'_{+} (a)\)は点aの微分係数を考えたとき,それぞれ増分を0へ左から近づけたものを左への微係数,
増分を0へ右から近づけたものを右への微係数と呼ぶ数学記号.]
また、\(|g(0)| \leqq f(0) = 0　から、g(0) = 0とわかる.\) \(\biggl[-f(0)=0 \leqq g(0) \leqq f(0) = 0 \biggr]\)
ここで、\(点0におけるg(x)とf(x)の微分係数の関係を求めるために、|g(x)| \leqq f(x)の両辺を|x|で割る.\)
\(0 \leqq \dfrac{|g(x)|}{|x|} = \left|\dfrac{g(x)}{x} \right| = \left|\dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0} \right| \leqq \dfrac{f(x)}{|x|} = \left|\dfrac{f(x)}{x} \right| = \left|\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} \right| \)

∴　\(0 \leqq \left|\dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0} \right| \leqq \left|\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} \right| \) ここで,\(\displaystyle x \to 0の操作を行うと, \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g'(0),\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = 0 \)

したがって,\(|g'(0)| \leqq 0 でg'(0) = 0 \)
(メモ) 上で求めた\(f'(0)=0\)の論理展開は"ロールの定理"の証明にも出くわす.
Rolleの定理
    \(関数f(x)は閉区間[ a , b]で連続,　開区間( a , b)で微分可能とする。さらにf(a) = f(b)ならば、\) \begin{align} f'(c) = 0 ,  a \lt c \lt b \end{align}     を満たす \(c\) が少なくとも１つ存在する.
[証明]
{Ⅰ} \(関数f(x)が[ a , b]で定数ならば、微分可能な点の全てで、f'(x)=0となり,定理は成り立つ.\)
{Ⅱ} \(関数f(x)が[ a , b]で定数でないならば,[ a , b]では連続なので最大・最小の存在定理により、この区間で最大値をとる点,最小値をとる点 も存在する.\)
 \(f(a)=f(b)が最大値をとらない場合\);
  点\(c\)が最大値をとるとしよう。\(a \lt c \lt b であり, c + h \in [a , b]を満足するhに対して常に,f(c+h) \leqq f(c) が成り立つ.このことから以下の不等式を表現できる.\)
\begin{align} h \lt 0 のとき,   \dfrac{f(c + h) - f(c)}{h} &\geqq 0 \cdot\cdot\cdot ①　\\ h \gt 0 のとき,   \dfrac{f(c + h) - f(c)}{h} &\leqq 0 \cdot\cdot\cdot ② \end{align} \(\displaystyle h \to 0 を考えると,①の左辺は\lim_{h \to -0} \dfrac{f(c + h) - f(c)}{h} = f_{-}'(c),②の左辺は\lim_{h \to +0} \dfrac{f(c + h) - f(c)}{h} = f_{+}'(c)\)
\(\displaystyle (a , b)で微分可能であるから、\lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+h) - f(c)}{h} = f'(c)で f_{-}'(c) = f_{+}'(c)を意味する.①,②が両立するには,f'(c) = 0でなければならない.\)
 \(f(a)=f(b)が最大値をとる場合\);
  点\(c\)が最小値をとるとしよう。\(a \lt c \lt b であり, c + h \in [a , b]を満足するhに対して常に,f(c+h) \geqq f(c) が成り立つ.hの符号により、同様に①,②の不等式が得られ、同様の帰結が得られる.\)
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