Ans-3

微分可能という言葉があれば、微分係数や導関数の定義を思い起こすしかないのかな。
微分係数は平均変化率の極限値で、今、点\(a\)を固定にして、点\(b\)を点\(a\)に近づけるとしたら、\(\displaystyle f'(a)= \lim_{b \to a} \dfrac{f(b)-f(a)}{b - a}\)であった。
導関数は\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)であった。 これを念頭において問題を解く。
\(x\)=\(y\)= 0 を与式に代入すると、\(f(0+0)= f(0) + f(0) + 0×0\) ∴ f(0) = 0 --- ①
\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x) + f(h) + xh - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{xh}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h)}{h} = x + \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h - 0} = x + f'(0) \) ---　②
②の\(f'(0)\)を定数\(k\)とおいて、結局、\(f'(x) = x + k\)  ---　③
　 ③の両辺を積分すると、\(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + kx + C (Cは積分定数)\) ①より\(f(0) = C = 0\)   (答)  \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + kx (kは定数) \)
[メモ]
積分で求めた\(f(x)\)は変数分離形で微分方程式を解いたもの。
\(\displaystyle \dfrac{df(x)}{dx}=g^{\prime}(x) \to  \int 1 df(x) = \int g^{\prime}(x) dx \to  f(x) = g(x) + C (Cは積分定数)\)
点\(a\)で微分可能とは、点\(a\)における左方微分係数と右方微分係数が一致していること。
微分可能であれば、考察される点や区間では連続である。しかし、よく例示されるように、\(y = |x|\)では\(x = 0\)で連続であっても、点0で左右の微分係数が異なるため、点0で微分可能ではない。関数が微分可能であれば関数が連続であるが、逆は成り立たない.

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