Ans-6
\(x\), \(y\), \(z\)を各々、\(k\)で表すことを考える。与方程式をみると、\(x+y+z\) がひと固まりになっているので、それを \(\alpha\)とする。
\[
\left\{
\begin{flalign}
x + \alpha &= 1 \cdot\cdot\cdot ①'&\\
y + \alpha &= k \cdot\cdot\cdot ②'&\\
z + \alpha &= 2k^2 \cdot\cdot\cdot ③'&
\end{flalign}
\right.
\]
\(①' + ②' + ③'をすると、4 \alpha = 2k^2 + k + 1 \).
\(①'\times 4 をして、4x + 4 \alpha = 4 4x = 4 - 4 \alpha = -2k^2 - k + 3 \gt 0 \longrightarrow 2k^2 + k -3 \lt 0 \longrightarrow (2k + 3)(k-1) \lt 0 ∴ -\dfrac{3}{2} \lt k \lt 1 \cdot\cdot\cdot ④ \)
\(②'\times 4 をして、4y + 4 \alpha = 4k 4y = 4k - 4 \alpha = -2k^2 + 3k - 1 \gt 0 \longrightarrow 2k^2 - 3k + 1 \lt 0 \longrightarrow (2k - 1)(k-1) \lt 0 ∴ \dfrac{1}{2} \lt k \lt 1 \cdot\cdot\cdot ⑤ \)
\(③'\times 4 をして、4z + 4 \alpha = 8k^2 4z = 8k^2 - 4 \alpha = 6k^2 - k - 1 \gt 0 \longrightarrow (3k + 1)(2k-1) \gt 0 ∴ k \lt -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \lt k \cdot\cdot\cdot ⑥ \)
④、⑤、⑥の共通する部分をとって、 (答) \(\dfrac{1}{2} \lt k \lt 1 \)
[補足]対称式があるなら、その式を1文字で表して、式中の文字を減らすという考えがあったので、上のような方法をとった。
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