Ans-6

\(x\), \(y\), \(z\)を各々、\(k\)で表すことを考える。与方程式をみると、\(x+y+z\) がひと固まりになっているので、それを \(\alpha\)とする。 \[ \left\{ \begin{flalign} x + \alpha &= 1  \cdot\cdot\cdot ①'&\\ y + \alpha &= k  \cdot\cdot\cdot ②'&\\ z + \alpha &= 2k^2  \cdot\cdot\cdot ③'& \end{flalign} \right. \] \(①' + ②' + ③'をすると、4 \alpha = 2k^2 + k + 1 \).
\(①'\times 4 をして、4x + 4 \alpha = 4   4x = 4 - 4 \alpha = -2k^2 - k + 3 \gt 0 \longrightarrow 2k^2 + k -3 \lt 0 \longrightarrow (2k + 3)(k-1) \lt 0   ∴   -\dfrac{3}{2} \lt k \lt 1 \cdot\cdot\cdot   ④ \)
\(②'\times 4 をして、4y + 4 \alpha = 4k   4y = 4k - 4 \alpha = -2k^2 + 3k - 1 \gt 0 \longrightarrow 2k^2 - 3k + 1 \lt 0 \longrightarrow (2k - 1)(k-1) \lt 0   ∴   \dfrac{1}{2} \lt k \lt 1 \cdot\cdot\cdot   ⑤ \)
\(③'\times 4 をして、4z + 4 \alpha = 8k^2   4z = 8k^2 - 4 \alpha = 6k^2 - k - 1 \gt 0 \longrightarrow (3k + 1)(2k-1) \gt 0   ∴   k \lt -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \lt k \cdot\cdot\cdot   ⑥ \)
④、⑤、⑥の共通する部分をとって、 (答)  \(\dfrac{1}{2} \lt k \lt 1 \)
[補足]対称式があるなら、その式を1文字で表して、式中の文字を減らすという考えがあったので、上のような方法をとった。
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