Ans-2
方針としては分母の \(1-x\) を約分することが必要なんだろうな、とは誰でも気づくだろう。そして、 \(1 - x^{20}\) を見て、
\(x^n - 1 \)を因数 \(x - 1\)で因数分解した形を想起できるかが、問題解法の鍵となる。\(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \)であった。
ここで、\(\ x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdot\cdot\cdot + x + 1)\)が成り立つことを示しておこう。
\(n = k、x^k - 1 = (x - 1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdot\cdot\cdot + x + 1)\) --- ①が成り立つと仮定すると、
①より\(x^k =(x - 1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdot\cdot\cdot + x + 1) + 1\) --- \(①^{\prime}\)
\begin{align}
x^{k+1} - 1 = x \cdot x^{k} - 1 &= x \{(x - 1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdot\cdot\cdot + x + 1) + 1 \} - 1 (∵①') \\
&= (x - 1)(x^{(k-1)+1} + x^{(k-2)+1} + \cdot\cdot\cdot + x^2 + x) + x - 1 \\
&= (x - 1)(x^{k} + x^{k-1} + \cdot\cdot\cdot + x^2 + x + 1)
\end{align}
このことから、\(\ x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdot\cdot\cdot + x + 1)\)が利用できる。公式として用いて構わないだろう。
文字に抵抗があるなら、
\begin{align}
x^4 - 1 = x\cdot x^3 - 1 &= x \{(x - 1)(x^2 + x + 1) + 1\} - 1 \\
&= (x - 1)(x^3 + x^2 + x) + x -1 \\
&= (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
\end{align}
のように、\(x^5 - 1\)等々確かめてみればよかろう。さて、問題へ帰ろう。
\begin{align}
\displaystyle
与式 &= - \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x-1}\left(\dfrac{x^{20}-1}{x-1} - 20 \right) \\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{20}-1 - 20(x-1)}{(x-1)^2} \\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x^{19} + x^{18} + \cdot\cdot\cdot + x + 1) - 20(x - 1)}{(x-1)^2} \\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x^{19} + x^{18} + \cdot\cdot\cdot + x + 1 - 20)}{(x - 1)^2} \\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{19} + x^{18} + \cdot\cdot\cdot + x + 1 - 20}{x-1} \\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{19}-1)+(x^{18}-1)+ \cdot\cdot\cdot + (x-1)^2 + (x - 1) + (1 - 1)}{x - 1} ※20を各々1に等分割した\\
&= - \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^{18} + x^{17}+ \cdot\cdot\cdot + 1) \\
+ (x - 1)(x^{17} + x^{16} + \cdot\cdot\cdot + 1) + \cdot\cdot\cdot + (x-1)(x + 1) + (x - 1)}{x-1}\\
&= - \lim_{x \to 1} \{(x^{18}+x^{17}+ \cdot\cdot\cdot + x + 1) + (x^{17}+x^{16}+ \cdot\cdot\cdot + x + 1)
+ \cdot\cdot\cdot + (x + 1) + 1 \} \\
&= - (1 \times 19 + 1 \times 18 + \cdot\cdot\cdot + 1 \times 2 + 1) \\
&= - \dfrac{19}{2}(19 + 1) = - 190 \text{---} (答) 等差数列公式で 初項a, 末項lの項数nの和＝\dfrac{n}{2}(a + l)
を利用した。
\end{align}
上の解答で２０を1に分割することに気づくかどうかが分かれ目だが、僕はちょっと時間がかかってしまった。
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