Ans-4

(1) \(z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0\) で, 解と係数の関係から \(z_{1} + z_{2} = -1\)
(2) 題意から \(z_{1}^3 = 1, z_{2}^3 = 1\). \(z_{1}^8 + z_{2}^8 = (z_{1}^3)^2 \cdot z_{1}^2 + (z_{2}^3)^2 \cdot z_{1}^2 = z_{1}^2 + z_{2}^2 = (z_{1} + z_{2})^2 - 2z_{1}z_{2}\)
ここで、また解と係数の関係から, \(z_{1}z_{2} = 1\)であるから、\((z_{1} + z_{2})^2 - 2z_{1}z_{2} = (-1)^2 - 2 = -1\)---　①
(3) \(n = 3k  (k\in{Z}), 3k+1, 3k+2\)とおくと,
\(3kのとき z_{1}^{3k}+z_{2}^{3k}=(z_{1}^3)^k+(z_{2}^3)^k= 1 + 1 = 2\), \(3k+1のとき; z_{1}^{3k+1}+z_{2}^{3k+1} = z_{1}+z_{2} = -1\) \(3k+2のとき; z_{1}^{3k+2}+z_{2}^{3k+2}= z_{1}^2+z_{2}^2 = -1 [∵①より]\) ゆえに、 \(n\)が３の倍数のとき、２であり、それ以外では、－１.
[補足]
僕は現役時にどうも、この唐突に剰余項を用いての議論にしっくりこなかった。だが、整数の世界では何某かの倍数であるか否かが剰余項の範囲で分かり、全ての整数を\(X \cdot n \pm S  [Xが考察する倍数、Sを剰余項(0 \leqq S \lt X)]\)の形で表現できることに後に気づいたのだった。
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