Ans-5

まずは、\(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)=0 \)であるから、1の立方根は 1, 1以外を  \(\omega\)として,もう一つが \(\omega^2\) である.
また、\(\omega^3 = 1\)で、\(x^2 + x + 1 = 0 \)の解は \(\omega\), \(\omega^2\)であるから、\(x^2+x+1 = (x- \omega )(x - \omega^2) \)である。
(1) \(\omega^3 (x+1)(x+ \omega)(x+ \omega^2)= (1+x) \omega^2 (\omega + x) \omega (\omega^2 + x) = (1+x)(\omega^3 + \omega^2 x )(\omega^3 + \omega x) = (1+x)(1+ \omega x)(1+ \omega^2 x) \)
(2) \(n = 3k (k \in Z), 3k+1, 3k+2 \)で考える。
\(3kのとき、\omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1. 3k+1のとき, \omega^{3k+1} = \omega^{3k} \omega = \omega. 3k+2のとき, \omega^{3k+2} = \omega^{3k} \omega^2 = \omega^2 \).
(3) \(n\)は奇数であるから、偶数ではない。つまり２の倍数でない。それに３の倍数でもない。すなわち、６の倍数での剰余項0、1、2、3、4、5で考えて該当するのは1と５である。 \(5では6p + 5 = 6p + 6 - 1 = 6 (p+1) - 1  [p \in Z]\) であるから、結局は\(n = 6m \pm 1 (m \in Z)\)で考える。
\(f(x) = (x+1)^n-x^n-1  とおく。f(\omega)= (\omega + 1)^{6m+1}- \omega^{6m+1} - 1 = - \omega^2 - \omega - 1 = -(\omega^2 + \omega + 1) = 0 \).
\(f(\omega^2)= (\omega^2 + 1)^{6m+1}- (\omega^2)^{6m+1} - 1 = - \omega - \omega^2 - 1 = -(\omega^2 + \omega + 1) = 0 \).
\(f(\omega)= (\omega + 1)^{6m-1}- \omega^{6m-1} - 1 = - \dfrac{1}{\omega^2} - \dfrac{1}{\omega} - 1 = - (\dfrac{1 + \omega}{\omega^2} + 1) = -(-1 + 1)=0 \). \(f(\omega^2)\)でも同様の結果となる.
このことから、\(f(x)は因数(x - \omega)(x - \omega^2)\)を持つ。すなわち、 \(x^2 + x + 1\) で題意の式は割り切れる。
なお、\(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)で、\(\omega \neq 0\)から\(\omega^2\)で割って\(1 + \dfrac{1}{\omega} + \dfrac{1}{\omega^2} = 0\)となり、\(\dfrac{1}{\omega^2} + \dfrac{1}{\omega} = -1 \)と出せる.
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