Ans-7
以下のことをきちんと押さえておこう。
\begin{align}
複素数zが実数 \Longleftrightarrow z &= \overline{z} \cdot\cdot\cdot Ⅰ\\
複素数zが純虚数 \Longleftrightarrow z &= - \overline{z} \cdot\cdot\cdot Ⅱ
\end{align}
\(\alpha \in \mathbb{C} , \beta \in \mathbb{C} に対して、次の等式が成立する.\) [共役複素数の性質]
\(① \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} ② \overline{\alpha-\beta}=
\overline{\alpha}-\overline{\beta} ③ \overline{\alpha\, \beta}=\overline{\alpha}\, \overline{\beta}
④ \overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta} \right)} = \dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}
\left(\beta \neq 0 \right) \) ⑤ \(\overline{\alpha^n} = \left(\overline{\alpha} \right)^n \)
(1) 与式を\(p\)とおく. \(\overline{p}=\overline{z^2 - \overline{z^2}}=\overline{z^2} - \overline{\overline{z^2}}= \overline{z^2} - z^2 =-\left(z^2 - \overline{z^2} \right) = -p \). Ⅱより与式は純虚数.
(2) 与式を\(q\)とおく. \(\overline{q}=\overline{\alpha\, \overline{\beta} - \beta\, \overline{\alpha}}=
\overline{\alpha}\, \overline{\overline{\beta}} - \overline{\beta} \,\overline{\overline{\alpha}}=
\overline{\alpha}\, \beta - \overline{\beta}\, \alpha = -\left(\alpha\, \overline{\beta} - \beta\, \overline{\alpha} \right)=- q \). Ⅱより与式は純虚数.
(3) \(\overline{与式} = \overline{\left(\dfrac{\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta}{\alpha
\overline{\alpha} - 1} \right)} = \dfrac{\overline{\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta}}
{\overline{\alpha \overline{\alpha} - 1 }} = \dfrac{\overline{\alpha}\, \overline{\overline{\beta}}
+ \overline{\overline{\alpha}}\, \overline{\beta}}{\overline{\alpha}\, \overline{\overline{\alpha}} -1}
= \dfrac{\overline{\alpha}\,\beta + \alpha\,\overline{\beta}}{\overline{\alpha}\,\alpha - 1 } = 与式.\)
Ⅰより与式は実数.
(補足) 問題として取り上げていないが、⑤の性質を利用して、以下のような類の問で即答できる。
\((1 + i)^n + (1 - i)^nが実数であることを証明せよ.\)
\(\overline{(1 + i)^n + (1 - i)^n}= \overline{(1 + i)^n} + \overline{(1 - i)^n} = \left(\overline{1 + i}\right)^n + \left(\overline{1 - i}\right)^n = (1 - i)^n + (1 + i)^n = 与式.\) ゆえに実数である。
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