Ans-1

積分は積分変数が\(t\)であり、無関係の\(x\)がくっついている。積分区間に文字はない。--- ①
また、積分区間の絶対値が同じである。---　②
①から一般的に積分値を文字で置き換える。ここでは、\(\int_{-1}^{1}tf(t) dt = α \)--- ③、 \(\int_{-1}^{1}t^2f(t) dt = β \)--- ④ とおく。
②から、偶関数と奇関数で考えれば良いのではないか、と推測する。
\(f(x)\)が偶関数であれば、 \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx\)で, 奇関数であれば、\(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \)であった。
このことから、正の整数\(k\)を偶数と奇数に分けて考えてみる。 以上を踏まえて、
\(f(x)= 1 + αx + βx^k \)--- ⑤ となる。
(1) \(k\)が偶数のとき。
⑤より、\(f(-1)=1 - α + β = -\dfrac{7}{15}\)で, \(α - β =\dfrac{22}{15}\) --- ⑥
⑤より、\(f(t)=1 - αt + βt^k\) --- ⑦
⑦を③に代入して、\(α = \int_{-1}^{1} t(1 + αt + βt^k) dt = \int_{-1}^{1} (t + αt^2 + βt^{k+1}) dt = 2 \int_{0}^{1} αt^2 dt \)  [∵ \(t\)と\(t^{k+1}\)は奇関数]
\(α = 0\)となって、この結果と合わせて、⑦を④に代入して、\(β = \int_{-1}^{1} t^2(1 + βt^k) dt = \int_{-1}^{1} (t^2 + βt^{k+2}) dt = 2 \int_{0}^{1} (t^2 + βt^{k+2}) dt = 2\left[\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{β}{k+3}t^{k+3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{β}{k+3} \) ∴ \(β = \dfrac{2}{3} + \dfrac{β}{k+3}\)
⑥を上記結果に代入すると、32 = \(\dfrac{22}{k+3}\)となる。しかし、\(k\)は正の整数であるから、右辺は\(k\)について減少関数であり、等式を満足する\(k\)は存在しない。
(2)\(k\)が奇数のとき
(1)と同様の議論で、\(f(-1)=1 - α - β = -\dfrac{7}{15}\)で、\(α + β = \dfrac{22}{15}\) --- ⑧
\(α = \int_{-1}^{1} t(1 + αt + βt^k) dt = \int_{-1}^{1} (t + αt^2 + βt^{k+1}) dt = 2 \int_{0}^{1} (αt^2 + βt^{k+1}) dt = 2 \left[\dfrac{α}{3}t^3 + \dfrac{β}{k+2}t^{k+2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{2α}{3} + \dfrac{2β}{k+2}\)  ∴ \(α(k+2)=6β\) --- ⑨
\(β = \int_{-1}^{1} t^2(1 + αt + βt^k) dt = \int_{-1}^{1} (t^2 + αt^3 + βt^{k+2}) dt = 2 \int_{0}^{1} t^2 dt = \dfrac{2}{3}\) --- ⑩
⑩を⑧に代入して、\(α = \dfrac{22}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\)で、これを⑨に代入して\(\dfrac{12}{15}(k+2) = 6×\dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3}\)で\(k + 2 = 5\) ∴ \(k = 3 \)で\(k\)が正の整数かつ奇数の条件に合致している。
(1)、(2)より、求める答えは、\(k = 3 \) 及び \(f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{4}{5}x + 1 \)
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