高階線形微分方程式
このトピックではベクトル空間の理解に苦しみ、光明が見えることに時間がかかってしまった。咀嚼し切れてないところがあるが、ご容赦願いたい。空間をこうだろうと考えている。線形であることで、まずは空間という建造物の構成（各要素、その和、そのスカラー演算が集合に属す）を考え、その基礎（屋台骨）が基底であり、その基底（１次独立なベクトル）での線形結合によって、空間を埋め尽くす。そこでは座標は直交ではなく斜交で構わない。また、線形性から写像は元の性質を変えずに写すという、一定の性質で閉じた空間である、と。
\(\mu(x)=0\)としての高階線形同次微分方程式で論じる。線形という名称は上の定義に由来するのでしょう。方程式を満たす関数の集合がベクトル空間\(\textit{V}\)になっている。ベクトル空間の定義で、\(\mathbf{x}\)を、集合の要素\(\textit{f}(\mathbf{x})\) , \(\mathbf{y}\)を集合の要素\(\textit{f}(\mathbf{y})\)とみて、スカラー倍の定義に留意して確かめると、空間定義を満足する。したがって、方程式を満たす関数の集合、つまり解の集合がベクトル空間\(\textit{V}\)になっている。この解集合のベクトル空間を解空間という。そして、先述した微分作用素が線形写像\(\textit{f}\)に相当する。「微分可能な連続関数の和」の微分、つまり「" 微分可能な連続関数の和 "の導関数」が「" それら連続関数の導関数 "の和」に写像されている。これは、全ての解が知れれば、一般解が、それら解の１次結合で表現されることを意味する。
(問題) \(y''' = 0\)を解け.
よって、ロンスキアンがゼロでないので、１次独立. 一般解は \(y = c_{\tiny{1}} + c_{\tiny{2}}x + c_{\tiny{3}}x^2\) となる。基底の１次結合で解空間の全て(解空間の任意のベクトル)を表現できると先述したが、これは我々が通常考える空間の座標軸のような役割を果たしている。このことから、解空間の基底の数を次元と呼ぶ。この場合の解空間は次元が３である。
１次独立かをロンスキアンでの判定量でみたが、ロンスキアンの項目での行列をみたように、それ自体は
連立方程式なので、それを解き係数がすべてゼロかでの判断ができる。
関数の線形独立：
３個以上の関数も同様に定義する。恒等的ということが重要で、係数のゼロ性が関数の値、つまり、
\(D\)にある\(x\)の値に関係なく成り立つことである。また、関数は何回でも微分可能なものが多くあるので、微分しても成り立つことが言える。ある\(x\)で0であるとき、\(x+\varDelta x\)のときでも
成り立つので、
上の問題で基本解が\(1，x,\ x^2\)であった。これを調べてみる。\(P(x) = a\ + bx + cx^2\)とおく。
ここでは、定義域\(D\)に制約がないので、\(x=0\)で調べよう。\(P(0) = a =\ 0, P'(0) = b + 2c \cdot 0 = 0,P''(0) = 2c = 0\ \ \ \therefore a\ =\ b =\ c =\ 0\)
が成り立つ。ゆえに、 \(h_{\tiny{p}}\ +\ h_{\tiny{c}}\) は \(L(y)=f(x)\) の一般解である。
高階微分方程式が線形であるなら以下の形をとった。
\begin{align}
a_{n}(x)\dfrac{d^{n} y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}
+ \cdots + a_{2}(x)\dfrac{d^2 y}{dx^2} + a_{1}(x)\dfrac{d y}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) --- ①
\end{align}
そこでは、従属変数\(y\)や、その導関数が冪乗(底と指数で構成されたもの：\(B\ ^{p}\)において\(B\)が底、\(p\)が指数) ではない。
係数\(a_{n}(x)\ , a_{n-1}(x)\ ,\cdots \ ,a_{2}(x)\ ,a_{1}(x)\ ,a_{0}(x)\)は独立変数\(x\)の関数か定数である。
ここで、\(x\)の各値に関して\(a_{n}(x)\)がゼロではないとする。そこで、\(a_{n}(x)\)で①の両辺を除す。そして、\(b_{n-1}(x) = \dfrac{a_{n-1}(x)}{a_{n}(x)},\ b_{n-2}(x) = \dfrac{a_{n-2}(x)}{a_{n}(x)},\ \cdots , b_{1}(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{n}(x)},\ b_{0}(x) = \dfrac{a_{0}(x)}{a_{n}(x)},\ \varphi(x) = \dfrac{g(x)}{a_{n}(x)}\)とおく。①は以下のようになる。
\begin{align}
\dfrac {d^{n}y}{dx^n} + b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots\cdots +
b_{2}(x)\dfrac{d^2 y}{dx^2} + b_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + b_{0}(x)y = \varphi(x) --- ②
\end{align}
②を以下のように考えてみる。
\begin{align}
\mathbf{{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(y) + \mathbf{{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(y) + \cdots\cdots + \mathbf{{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(y) + \mathbf{{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(y) + \mathbf{{\color{red}b_{0}(x)}}(y) = \varphi(x)
\end{align}
ここで、赤太い部分に着目して、\(L = \mathbf{{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}} + \mathbf{{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}} + \cdots\cdots + \mathbf{{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}} + \mathbf{{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}} + \mathbf{{\color{red}b_{0}(x)}}\)とおくと、②は以下のように表現できると理解できよう。
\begin{align}
\mathbf{L(y) = \varphi(x)}
\end{align}
この\(L\)のことを微分作用素という。この左辺について、説明を加える。今、任意の関数、 \(y_{\tiny{1}} , y_{\tiny{2}}\)で、任意定数を\(c_{\tiny{1}}\), \(c_{\tiny{2}}\)として、\(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}\)を\(L\)に入れると、
\begin{align}
L(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) =
&\mathbf{{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) + \mathbf{{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) + \cdots + \mathbf{{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) + \mathbf{{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) \\
&+ \mathbf{{\color{red}b_{0}(x)}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) \\
= &\mathbf{{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}})+ \mathbf{{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}) + \cdots + \mathbf{{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}) + \mathbf{{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}) + \mathbf{{\color{red}b_{0}(x)}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}) + \\ &\mathbf{{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}})+ \mathbf{{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) + \cdots + \mathbf{{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) + \mathbf{{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}) + \mathbf{{\color{red}b_{0}(x)}}(c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) \\
= &\mathbf{c_{\tiny{1}}{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(y_{\tiny{1}})+ \mathbf{c_{\tiny{1}}{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(y_{\tiny{1}}) + \cdots + \mathbf{c_{\tiny{1}}{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(y_{\tiny{1}}) + \mathbf{c_{\tiny{1}}{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(y_{\tiny{1}}) + \mathbf{c_{\tiny{1}}{\color{red}b_{0}(x)}}(y_{\tiny{1}}) + \\
&\mathbf{c_{\tiny{2}}{\color{red}\dfrac{d^n}{dx^n}}}(y_{\tiny{2}})+ \mathbf{c_{\tiny{2}}{\color{red} b_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}}}(y_{\tiny{2}}) + \cdots + \mathbf{c_{\tiny{2}}{\color{red}b_{2}(x)\dfrac{d^2}{dx^2}}}(y_{\tiny{2}}) + \mathbf{c_{\tiny{2}}{\color{red}b_{1}(x)\dfrac{d}{dx}}}(y_{\tiny{2}}) + \mathbf{c_{\tiny{2}}{\color{red}b_{0}(x)}}(y_{\tiny{2}}) \\
\end{align}
２番目及び３番目の等式を眺めると、\(\mathbf{L(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}+c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) = L(c_{\tiny{1}}y_{\tiny{1}}) + L(c_{\tiny{2}}y_{\tiny{2}}) = c_{\tiny{1}}L(y_{\tiny{1}}) + c_{\tiny{2}}L(y_{\tiny{2}})}\)が成り立っている。この事実によりベクトル空間及び線形写像の考えから、線形微分方程式の解についての帰結が導出される。
ベクトル空間
高校で学んだ「向きと大きさ」を持ったものがベクトルとの意識は横に置いた方が良い。ベクトル空間とは「一定の性質を持ったものであり、加法性・スカラー倍の演算規則を持ち合わせる集合」をいう。ベクトル空間の定義がある。
空でない集合 \(\textit{V}\)の任意の要素\(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)に対して、和 \(\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \textit{V} \)が定義され、また、\(\textit{V}\)の任意の要素 \(\mathbf{x}\)に対してスカラー倍 \(\lambda \mathbf{x} \in \textit{V}\)が定義されるとする。(スカラー\(\lambda\)はベクトルではない量を指し、実数または複素数).このとき、以下の条件が満たされるとき、\(\textit{V}\)の要素をベクトルといい、集合\(\textit{V}\)をベクトル空間または線形空間という。
線形写像
ベクトル空間\(\textit{V}\)からベクトル空間\(\textit{W}\)への写像\(\textit{f}\)が次の性質を持つとき、\(\textit{f}\)を線形写像という。任意のベクトル \(\mathbf{x}\ ,\ \mathbf{y}\)と実数 \(k\)に対して、
\begin{align}
\textit{f}(k\mathbf{x}) &= k\textit{f}(\mathbf{x}) \\
\textit{f}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) &= \textit{f}(\mathbf{x}) + \textit{f}(\mathbf{y})
\end{align}
を満たす。これを線形性という。
【同次方程式の解空間の基底は同次方程式を満たす\(n\)個の１次独立な関数である。】
解の集合は解空間であり、解空間の全てを１次独立なベクトルの１次結合で表されるとき、この１次独立なベクトルの集まりを解空間の基底という。また、解空間の基底を基本解という。\(n\)個の１次独立な解を見つければ、【 】の文言により全ての解を見つけたことになる。そこで、\(n\)個の基本解が１次独立かどうかということが、非常に大事になってくる。ここで、利用されるのがロンスキアンである。
ある区間で微分可能な関数\(y_{\tiny{1}}(x), y_{\tiny{2}}(x), \cdots\cdots, y_{\tiny{n}}(x)\)でロンスキアンがゼロでなければ、それら関数は１次独立であった。前回とは違う方法で自分の勉強も兼ねて、記述しておこう。２階線形同次方程式で考えてみる。同次方程式は区間\(\textit{I}\)で連続な関数を係数とする。
【\(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}},\cdots,y_{\tiny{n}}\)が区間\(\textit{I}\)における同次方程式の解ならば\(\textit{W}(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}},\cdots,y_{\tiny{n}})\)は\(\textit{I}\)において恒等的に０か、決して０にならないかのどちらかである.】
( 証明 ) \(L(y) = y'' + a_{\tiny{1}}(x)y' + a_{\tiny_{0}}(x)y = 0\)での解を\(y_{\tiny{1}}\ ,\ y_{\tiny{2}}\)とする。
\(W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right) =
\begin{array}{|cc|}
y_{\tiny{1}} & y_{\tiny{2}} \\
y_{\tiny{1}}' & y_{\tiny{2}}'
\end{array}
= y_{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}' - y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}'\ \longrightarrow
\dfrac{d}{dx}W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right)= y_{\tiny{1}}'y_{\tiny{2}}' + y_{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}'' - y_{\tiny{2}}'y_{\tiny{1}}' - y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}''
= y_{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}'' - y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}'' =
\begin{array}{|cc|}
y_{\tiny{1}} & y_{\tiny{2}} \\
y_{\tiny{1}}'' & y_{\tiny{2}}''
\end{array}
\)
\(y_{\tiny{1}}\ ,y_{\tiny{2}}\)が解であるから、
\(\begin{array}{|cc|}
y_{\tiny{1}} & y_{\tiny{2}} \\
y_{\tiny{1}}'' & y_{\tiny{2}}''
\end{array}
=
\begin{array}{|cc|}
y_{\tiny{1}} & y_{\tiny{2}} \\
-a_{\tiny{1}}(x)y_{\tiny{1}}' - a_{\tiny{0}}(x)y_{\tiny{1}} & -a_{\tiny{1}}(x)y_{\tiny{2}}'
-a_{\tiny{0}}(x)y_{\tiny{2}}
\end{array}
= -a_{\tiny{1}}(x)y{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}' -a_{\tiny{0}}(x)y_{\tiny{1}}y_{\tiny{2}} +
a_{\tiny{1}}(x)y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}' + a_{\tiny{0}}(x)y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}
= -a_{\tiny{1}}(x)\ (y{\tiny{1}}y_{\tiny{2}}' - y_{\tiny{2}}y_{\tiny{1}}') \)
\(=-a_{\tiny{1}}(x)
\begin{array}{|cc|}
y{\tiny{1}} & y{\tiny{2}} \\
y_{\tiny{1}}' & y_{\tiny{2}}'
\end{array}
\)
この結果から、
\begin{align}
\dfrac{d}{dx}W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right) &= -a_{\tiny{1}}(x)W\left(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}}\right) \\
\dfrac{d}{dx}W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right) + a_{\tiny{1}}(x)W\left(y_{\tiny{1}}, y_{\tiny{2}}\right) &= 0 \\
d\{W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right)\}\ + a_{\tiny{1}}(x)W\left(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}}\right) dx &= 0 \\
a_{\tiny{1}}(x)W\left(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}}\right) dx + d\{W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right)\} &= 0
\end{align}
が成り立つ。得られた微分方程式を解きやすいように投稿した微分形式の形に直している。この解法に従えば、\(M = a_{\tiny{1}}(x)W\left(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}}\right), N\ = 1\)である。そこで、積分因子を求める。
\begin{align}
\dfrac{1}{1}\biggl(\dfrac{\partial\ a_{\tiny{1}}(x)W}{\partial W} - 0 \biggr) = a_{\tiny{1}}(x)
\end{align}
すなわち積分因子は\(\displaystyle \mu(x) = e^{\int a_{\tiny{1}}(x) dx}\)である。１階線形微分方程式で説明しているように、\(\dfrac{d\ (\mu(x)y)}{dx} = \mu(x)Q(x)\)であった。ここでは、同次方程式なので、\(Q(x)\ =\ 0\)である。積分因子を乗じると、すなわち、\(\dfrac{d}{dx} (\mu(x)W(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}})) = 0\)が導出される。なお、ここでは、\(e^{x}\)を\(\exp(x)\)と表示する。指数の部分を分り易くするために。これを解くと、
\begin{align}
\dfrac{d}{dx} (\mu(x)W(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}})) &= 0 \\
\int (1) d(\mu(x)W(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}})) &= \int (0) dx\\
\mu(x)W(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}}) &= C\ \ (Cは任意定数) \\
W(y_{\tiny{1}},y_{\tiny{2}}) &= C\exp\left(-\int a_{\tiny{1}}(x)\ dx\right)
\end{align}
他サイトでこれ以降で若干の書き換えをしているが、\(exp\)の部分はゼロにならないので、\(C\)の値から、ロンスキアンの判定量が、ゼロになるかゼロにならないか、は明らかである。
これから、ある\(x\)で\(W(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}},\ \cdots,\ y_{\tiny{n}}) \neq 0\)
ならば、区間\(\textit{I}\)内のすべての\(x\)で
\(W(y_{\tiny{1}},\ y_{\tiny{2}},\ \cdots,\ y_{\tiny{n}}) \neq 0\)が言える。
\(y''\)=定数であるから、基底（基本解)は、明らかに、\(y_{\tiny{1}}=1,\ y_{\tiny{2}} = x,\ y_{\tiny{3}}= x^2\)である。そこで、１次独立であるか調べると、
一応、簡単な同次方程式の問題を据えておく。興味のある方はやってみてもらいたい。
問題）各問題では与えられた区間での線形同次方程式を満たす解を示す。１次独立かを確認し、そうであれば、初期条件の下で解け。
関数の線形独立の定義を再確認すると、
定義域が\(D\) [\(D\)はDomainの略] の２つの関数 \(\textit{f},\ \textit{g}\)が\(D\)で、恒等的に
\(\textit{s}\textit{f(x)}\ +\ \textit{t}\textit{g(x)} =\ 0\ \Rightarrow\ \textit{s}\ =\ \textit{t}\ =\ 0 \)
が成り立つとき、 \(\textit{f},\ \textit{g}\)が線形独立という。
\(\textit{sf}(x + \varDelta x)\) + \(\textit{tg}(x + \varDelta x)=0\)と言い得る。
\begin{align}
\textit{s}\textit{f(x)}\ +\ \textit{t}\textit{g(x)} &=\ 0\ \cdots\ ① \\
\textit{sf}(x + \varDelta x) + \textit{tg}(x + \varDelta x)&=0\ \cdots ② \\
② - ① =\textit{sf}(x + \varDelta x) - \textit{s}\textit{f(x)} + \textit{tg}(x + \varDelta x)- \textit{tg}(x) =0 \\
\varDelta x \biggl(\dfrac{\textit{sf}(x + \varDelta x) - \textit{s}\textit{f(x)} + \textit{tg}(x + \varDelta x)- \textit{tg}(x)}{\varDelta x}\biggr) &=0 \\
\textit{s}\cdot\lim_{\varDelta x \to 0}\dfrac{\textit{f}(x + \varDelta x) - \textit{f}(x)}
{\varDelta x} + \textit{t}\cdot\lim_{\varDelta x \to 0}\dfrac{\textit{g}(x + \varDelta x) - \textit{g}(x)}{\varDelta x} &= 0 \\
\textit{s}\textit{f}'(x) + \textit{t}\textit{g}'(x) &= 0
\end{align}
もう一つ、問題として挙げた（２）で基本解\(x \sqrt{x}, \sqrt{x}\) \(\{ x \mid 0 \lt x \lt \infty \}\)を調べよう。\(Q(x) = ax \sqrt{x} + b\sqrt{x}\)とおく。
\(Q'(x) = \dfrac{3}{2}ax^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{2}bx^{-\frac{1}{2}}\).
\(x = 1\)で調べる。\(Q(1) = a + b =0,\ Q'(1) = \dfrac{3}{2}a +
\dfrac{1}{2}b = a + \dfrac{1}{2}\left(a + b \right) =\ 0 \).これから、\(a =\ b =\ 0 \).
高階線形非同次微分方程式
\(L(y_{\tiny{1}}\ +\ y_{\tiny{2}})\ =\ L(y_{\tiny{1}})\ +\ L(y_{\tiny{2}})\ =\ f(x) \) が成り立っていたことに着目する。今、\(L(y)=f(x)\)を満足する特殊解を\(h_{\tiny{p}}\)とする。従い、\(L(h_{\tiny{p}}) = f(x)\)が成り立つ。\(L(y)=0\)を満足する同次解( 同次方程式を満足する一般解 )を\(h_{\tiny{c}}\)とする。従い、\(L(h_{\tiny{c}}) = 0\)が成り立つ。これら特殊解と同次解の和を\(L\)に代入すると、
このケースでは、\(h_{\tiny{c}}\)のことを余関数( complementary function )という。以上のことから、\(L(y)=f(x)\)のひとつの特殊解が知れたなら、方程式の一般解を導出するには\(L(y)=0\)の余関数を見つければよいことになる。
例題) \(y=x + 1\)は\(y'' - y' - 6y = - 6x - 7\)の解であることを示し、一般解を求めよ。
\(y = x + 1, y' = 1, y'' = 0\)で、代入すると、\(\ 0 - 1\ -\ 6(x+1)\ =\ -1-6x-6 = -6x - 7\).
\(L(y)=0\)の解（余関数）は先の問題（1）で示した解で、\(h_{\tiny{c}} = c_{\tiny{1}}e^{3x} + c_{\tiny{2}}e^{-2x}\). したがって、一般解：\( y(x) = c_{\tiny{1}}e^{3x} + c_{\tiny{2}}e^{-2x} + x + 1\).
その余関数は定数係数２階線形同次微分方程式の解である。この解法は次のステップで記述する。
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