問題解答
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行列\(A\)として、ロンスキアンは\(|A|\)であるから、ここでは逆行列を利用して任意定数を求めてみる。
\(\begin{pmatrix} e^{3\cdot0} & e^{-2\cdot0} \\ 3e^{3\cdot0} & -2e^{-2\cdot0}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}k_{\tiny{1}} \\ k_{\tiny{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}\)
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これより、\(k_{\tiny{1}} = 4,\ k_{\tiny{2}} = -12\ \ \therefore y= 4x\sqrt{x} - 12\sqrt{x}\)
\(W(e^{3x},e^{-2x})=\begin{array}{|cc|} e^{3x} & e^{-2x} \\ 3e^{3x} & -2e^{-2x} \end{array}
=\ -2e^{x} - 3e^{x} =\ -5e^{x} \neq 0.
\) \(y= k_{\tiny{1}}e^{3x} + k_{\tiny{2}}e^{-2x}\) とおく。
\(\longrightarrow \dfrac{1}{-5e^{0}}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}k_{\tiny{1}} \\ k_{\tiny{2}} \end{pmatrix}= -\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}
=-\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -18-2 \\ -27+2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\ \therefore y = 4e^{3x} + 5e^{-2x}
\)
\(W\left(x^{\frac{3}{2}},x^{\frac{1}{2}}\right)=\begin{array}{|cc|} x^{\frac{3}{2}} & x^{\frac{1}{2}} \\ \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{array}
=\ \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}x =\ -x \lt 0 (\neq 0).\) \(y= k_{\tiny{1}}x\sqrt{x}
+ k_{\tiny{2}}\sqrt{x}\)とおく。
\begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& k_{\tiny{1}} \cdot 9 \sqrt{9} + k_{\tiny{2}} \cdot \sqrt{9}
= 27k_{\tiny{1}}+ 3k_{\tiny{2}} = 72 \\
& k_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{3}{2}\sqrt{9} + k_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{1}{2}\dfrac{1}
{\sqrt{9}} = \dfrac{9}{2}k_{\tiny{1}} + \dfrac{1}{6}k_{\tiny{2}} = 16
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
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\(W(x^2, x^{-2}) = \begin{array}{|cc|} x^2 & x^{-2} \\ 2x & -2x^{-3} \end{array}
= -2x^{-1} - 2x^{-1} = -\dfrac{4}{x} \neq 0\). \(y = k_{\tiny{1}}x^2 + k_{\tiny{2}}x^{-2}\)とおく。
\(9k_{\tiny{1}} + \dfrac{1}{9}k_{\tiny{2}} = 30\), \(6k_{\tiny{1}} - \dfrac{2}{27}k_{\tiny{2}}\ = 16 k_{\tiny{1}}= 3,\ k_{\tiny{2}} = 27\) \(\therefore y=3x^2 + \dfrac{27}{x^2}\)
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三角関数の公式を全て覚えているわけではないので、持ってる情報で解いてみよう。
\(\cot x = \dfrac{1}{\tan x}\ ,\ \csc x = \dfrac{1}{\sin x}\ ,\ (\tan x)' = \sec^2 x,\ \sec x =\dfrac{1}{\cos x}\ ,\ \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)' = -\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\ ,\ (\sin x)'\ =\ \cos x \)
\(\left(\cot x\right)'=\ \left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'\ =\ -\dfrac{\sec^2 x}{\tan^2 x}
=\ -\dfrac{1}{\cos^2}\cdot\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\ =\ -\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
\((\csc x)' = \left(\dfrac{1}{\sin x}\right)'\ =\ -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\)
\(W(\cot x, \csc x) = \begin{array}{|cc|} \cot x & \csc x \\ (\cot x)' & (\csc x)' \end{array}
= \begin{array}{|cc|} \dfrac{\cos x}{\sin x} & \dfrac{1}{\sin x} \\ -\dfrac{1}{\sin^2 x} & -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} \end{array} = -\dfrac{\cos^2 x}{\sin^3 x} - \left(-\dfrac{1}{\sin^3 x}\right)= \dfrac{1-\cos^2 x}{\sin^3 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\sin x} \geqq 1 \) \(y = k_{\tiny{1}}\cot x + k_{\tiny{2}}\csc x \)とおく。
\(k_{\tiny{1}}\cot(\frac{\pi}{2}) + k_{\tiny{2}}\csc (\frac{\pi}{2}) = k_{\tiny{2}} = 1, y' = k_{\tiny{1}}\left(-csc^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + k_{\tiny{2}}\left(-\dfrac{\cos (\frac{\pi}{2})}{\sin^2 (\frac{\pi}{2})}\right)=-k_{\tiny{1}}+0=-1 \therefore k_{\tiny{1}} = 1 \therefore y = \cot x + \csc x \)
上の情報より、再度やってみると、
\(\left(\cot x\right)'=-\csc^2 x,\ \ (\csc x)' = -\cot x \csc x\), \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)の両辺を\(\sin^2 x\)で除して、\(1+ \cot^2 x = \csc^2 x\)が言える。これを用いて、
\(W(\cot x, \csc x) = \begin{array}{|cc|} \cot x & \csc x \\ -\csc^2 x & -\cot x \csc x \end{array} = -\cot^2 x \csc x - (-\csc^3 x) = \csc x(\csc^2 x - \cot^2 x)= \csc x\)
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\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}, (x\ln x)' = \ln x + 1\)
\(W(\ln x, x\ln x) = \begin{array}{|cc|} \ln x & x\ln x \\ \dfrac{1}{x} & \ln x + 1 \end{array}= (\ln x)^2 + \ln x - \ln x = (\ln x)^2 \gt 0 \)
\(y= k_{\tiny{1}}\ln x + k_{\tiny{2}}x\ln x\)とおく。\(k_{\tiny{1}}\ln e + k_{\tiny{2}}e\ln e =\ k_{\tiny{1}} +k_{\tiny{2}}\cdot e = 0\). \(k_{\tiny{1}}\dfrac{1}{e} + 2k_{\tiny{2}} = -1\) \(\therefore\ y = e\ln x - x\ln x\)
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\(W(x^4,\ x^3,\ x^2) = \begin{array}{|ccc|} x^4 & x^3 & x^2 \\ 4x^3 & 3x^2 & 2x \\ 12x^2 & 6x & 2 \end{array}=x^4 \cdot 3x^2 \cdot 2 + x^3 \cdot 2x \cdot12x^2 + 4x^3 \cdot 6x \cdot x^2 - x^2 \cdot 3x^2 \cdot 12x^2 - x^3 \cdot 4x^3 \cdot 2 - 2x \cdot 6x \cdot x^4\)
\( = 6x^6 + 24x^6 + 24x^6 - 36x^6 - 8x^6 - 12x^6 = -2x^6 \lt 0 \). \(f(x) =ax^4 + bx^3 + cx^2\)とおく。
\(f(2)=16a + 8b + 4c = 48,\ f'(2) = 32a + 12b + 4c = 92, f''(2) = 48a + 12b + 2c = 136\)
\(\therefore y = 3x^4 - x^3 +2x^2\)
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これは解をみて気づくだろうか？３番目の解が1及び２番目の解での線形結合となっている。つまり、３番目の解は基底ではない。ゆえに、ロンスキアンはゼロになる。実際に計算してみるとよい。
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