無限級数の中で特別な形である、無限等比級数をやってみる。
\(\large \left[無限等比級数の定義\right] \)
\(a , r \in \mathbb{R} \)として、無限等比級数は次の形をとる。\(\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} ar^{k} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \ldots \ldots \)
\(k = 0\)が開始値である。よく観察すれば明らかであろうが、\(\displaystyle \sum_{k = 1 }^{\infty} ar^{k - 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} ar^{\left(k - 1 \right) + 1 }\)、あるいは\(\displaystyle \sum_{k = 1 }^{\infty} ar^{k - 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} a\cdot r\cdot r^{k-1}\). これでも不明瞭であれば、数列\(\left\{n\right\}\)の和の場合で見てみる。\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} k = \sum_{k = 0}^{\infty} \left(k + 1 \right) \) つまり、\(k\)というインデックスでの開始値がひとつ前になった場合、その影響をうけるインデックスに１を加えればよい。
無限等比級数の和に関する命題を示す前に、補題を示しておく。
(補題)
数列\(\large \left\{r^{n}\right\}\) が収束する必要十分条件は\(\large r \)が区間\(\large \left( -1 , 1 \right]\)の元になっていることである。数列\(\large \left\{r^{n}\right\}\)は\(\large r \in \left(-1 , 1 \right)\)であるならば \(\large 0 \) に収束し、\(\large r = 1 \)であるならば \(\large 1\) に収束する。それ以外は発散する。 \(\cdots \bigstar\).
\(r \in (-1 , 1)\)は\(r\)が有界である。それは\(|r| \lt 1 \)である。\(|r|\)は有界であるから、数列\(\left\{|r|^n\right\}\)も有界である。
\begin{align}
0 \leq |r|^2 \leq |r| \rightarrow 0 \leq |r|^3 \leq |r|^2 \rightarrow 0 \leq \cdots \leq |r|^{n} \leq |r|^{n-1}\Longrightarrow 0 \leq \cdots \leq |r|^{n+1} \leq |r|^{n} \leq |r|^{n-1} \leq \cdots \cdots \leq |r|^2 \leq |r| \lt 1 \cdots \large \heartsuit
\end{align}
つまり数列\(\left\{|r|^n\right\}\)は単調減少である。単調収束定理により、単調数列が収束する必要十分条件は有界であった。そして、単調減少数列であるから極限値は下限(最大下界)であり、この場合\(0\)に収束する。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} |r|^{n} = \inf \left(\left\{|r|^{n} : |r| \lt 1 , n \in \mathbb{N}\right\}\right) = 0\). 数列\(\left\{r^{n}\right\}\)は\(r \in (-1 , 1)\)で\(0\)に収束する。以下に説明を加えると、
\(\large \displaystyle \lim_{n \to \infty} |r|^{n} = \lim_{n \to \infty} |r^{n}| = \lim_{n \to \infty} r^{n} = 0 \). \(\large |a||b| = |ab|\)より、\(\large |a|^2 = |a^2|\). \(\large |a|^{k} = |a^{k}|\)が成り立つと仮定して、\(\large |a|^{k+1} = |a|^{k} \cdot |a| = |a^{k}| \cdot | a | = |a^{k} \cdot a|=|a^{k+1}| \).したがって、\(\large |r|^{n} = |r^{n}|\)である。\(\large \displaystyle \lim_{n \to \infty} |r^{n}|= 0 \)とは、任意の\(\varepsilon \gt 0 \)に対して、ある\(N \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\( n \gt N \)について、\(|\ |r^{n} | - 0 | \lt \varepsilon \)である。ところが、\(| |r^{n}| -0 | = |r^{n}| = |r^{n} - 0 | \lt \varepsilon \). したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} |r^{n}| = \lim_{n \to \infty} r^{n} = 0 \).となる。
\(\large \heartsuit \) \(f(r) = |r|^{n-1} - |r|^{n} \)とおく。
\begin{align}
&f(r) = |r|^{n-1} - |r|^{n} = |r|^{n-1} ( 1 - |r| ) \rightarrow f(0) = 0 ,\ r \neq 0 \rightarrow f(r) \gt 0 \ \therefore 0 \leq f(r) \Longrightarrow 0 \leq |r|^{n-1} - |r|^{n} \Longrightarrow |r|^{n} \leq |r|^{n-1} \\
\\
&0 \cdot |r| \leq |r|\cdot (|r|^{n-1} - |r|^{n}) = |r|^{n} - |r|^{n+1} \Longrightarrow |r|^{n+1} \leq |r|^{n} \therefore |r|^{n+1} \leq |r|^{n} \leq |r|^{n-1}
\end{align}
命題：Geometric series test）\(a\)及び\(r\)は０ではない実数とする。このとき、
\[
{\sum_{k = 0}^{\infty} a \cdot r^{k} }= \begin{cases}
{\dfrac{a}{1 - r}} &\mathrm{if} \ \ |r| \lt 1 \ \ \ \diamondsuit \\
{発散する} &\mathrm{if} \ \ |r| \ge 1 \ \ \ \clubsuit \\
\end{cases}
\]
\(\large \left[証明\right] \)
\(\clubsuit \ |r| \gt 1 \)の場合、\(r \lt -1, 1 \lt r \)であるから、級数は\(\bigstar \)や\(k\)項の収束テストにより発散する。\(|r| = 1 \)の場合は、\(r = 1\)のとき、級数=\(a + a + a + \ldots \ldots \)であるから、発散する。\(r = -1 \)のとき、部分和を\(\left \{s_{n}\right\}\)として、各項を観察すると、\( s_{0} = a,\ s_{1} = a +(-a) = 0,\ s_{2} = a + (-a) + a = a,\ s_{3} = a + (-a) + a +(-a) = 0 , \ldots \ldots \)のように収束してはいない。次に、\(\diamondsuit \ |r| \lt 1 \)の場合である。
\(1 - x^{n} = (1 - x)(1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots + x^{n-1}) \)が成り立つ。右辺を展開してみると、
\begin{align}
(1 - x)(1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots + x^{n-1}) = 1 + &x + x^{2} + \cdots + x^{n-2} + x^{n-1} \\
- &x - x^{2} - \cdots - x^{n-2} - x^{n-1} - x^{n} = 1 - x^{n}
\end{align}
これは、\(n +1\)の場合も成り立つ。同じ計算で確かめられるが、数学的帰納法で確認しておく。\(n = k\)で成り立つと仮定して、\( x^{k} = 1 - (1 - x)(1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots + x^{k-1}) \ \cdots \spadesuit \)である。
\begin{align}
1 - x^{k+1} &= 1 - x^{k}\cdot x \\
&= 1 - \left\{1 - (1 - x)(1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots + x^{k-1})\right\} \cdot x
\ \ \ \because \spadesuit \\
&= 1 - \left\{x - (1 -x )(x + x^{2} + \cdots + x^{k})\right\} \\
&= 1 - x + (1 - x)(x + x^{2} + \cdots + x^{k}) \\
&= (1 - x)( 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{k})\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=k+1でも成り立つ。
\end{align}
ここで、\(x\)を\(r\)に置き換えて、次の等式が得られる。\(\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} r^{k} = 1 + r + r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{n} = \dfrac {1 - r^{n+1}}{1 - r}\ \ \because r \neq 1 \). \(\displaystyle a \cdot \sum_{k = 0}^{n} r^{k} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots + ar^{n} = \sum_{k = 0}^{n} ar^{k} = \dfrac {a\left(1 - r^{n+1}\right)}{1 - r}\). \(\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} ar^{k} = s_{n}\) として、 \(s_{n}\) は \(\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} ar^{k}\) の部分和である。
\begin{align}
\sum_{k = 0}^{\infty} ar^{k} &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} ar^{k} \\
&= \lim_{n \to \infty} s_{n} \\
&= \lim_{n \to \infty} \dfrac {a\left(1 - r^{n+1}\right)}{1 - r} \\
&= \dfrac {a}{1-r} \ \ \ \ \ \ \because {\large \bigstar} \ \ \ \ \ \ \ \ \Box
\end{align}
部分和は高校で学習した等比数列の和の公式でも示せる。加算される項数が\(n\)項ではなく、始めに記したように、開始値が\(k = 0\)であるから、\((n + 1)\)項に留意。
参考文献：Jay Cummings "Real Analysis" ＜English Book＞; 原 惟行・松永秀章 著：ｲﾌﾟｼﾛﾝ・ﾃﾞﾙﾀ論法完全攻略