ロンスキアン

ロンスキアン"Wronskian"は行列式を用いる。行列は\(\Biggl(  \Biggr)\)内の各成分で表現されたが、行列式は\(\Biggl|  \Biggr|\)内の成分で表現する。高校でも逆行列を求める時に利用したのが行列式であった。２×２行列式は高校でもやっているので、３×３行列式の求め方を簡単に示しておく。 \(\begin{array}{|ccc|} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} = a(-1)^{[1+1]} \begin{array}{|cc|} e & f \\ h & i \end{array} + b(-1)^{[1+2]} \begin{array}{|cc|} d & f \\ g & i \end{array} + c(-1)^{[1+3]} \begin{array}{|cc|} d & e \\ g & h \end{array} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\)
      \(= aei + bfg + cdh - afh- bdi - ceg \)
これは余因子行列という線形代数で学ぶものを利用した。\(a\)成分に着目して、それが属する行と列の成分を削除したのが左辺第1項の行列式、第２項のそれは\(b\)の属する行と列を削除した行列式、第３項は\(c\)の属するそれらを削除後の行列式である。\((-1)\)の指数部分[ ]内の数字は\(a\)が1行1列成分、\(b\)が1行２列成分、\(c\)が１行３列成分というそれらの数字の和を示している。これは、必ず\(a\),\(b\),\(c\)で考える必要はなく、同じ行か同じ列の成分で考えても同じ結果を得る。例えば、\(c\),\(f\),\(i\)でやってみよう。
\(\begin{array}{|ccc|} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} = c(-1)^{[1+3]} \begin{array}{|cc|} d & e \\ g & h \end{array} + f(-1)^{[2+3]} \begin{array}{|cc|} a & b \\ g & h \end{array} + i(-1)^{[3+3]} \begin{array}{|cc|} a & b \\ d & e \end{array} = c(dh - eg) - f(ah - bg) + i(ae - bd)\)
      \(= cdh + bfg + aei - ceg - afh - bdi \)
行列式自体はスカラーを表すので、行列のように成分を\(k\)倍できないことに注意したい。例えば、\(a(ei - fh)\)とあったが、\(a\)を行列式の成分に乗じて\(ae \times ai - af \times ah\)としてはならない。上の方法以外で対角に着目し行列式の値を求める方法がある。
左上方から右斜め下に見る方向で符号を正とする。\(a \rightarrow e \rightarrow i\)と見て、\(+aei\). \(d \rightarrow h \rightarrow c\)と見て、\(+cdh\). \(b \rightarrow f \rightarrow g\)と見て、\(+bfg\).
右上方から左斜め下に見る方向で符号を負とする。\(c \rightarrow e \rightarrow g\)と見て、\(-ceg\). \(b \rightarrow d \rightarrow i\)と見て、\(-bdi\). \(f \rightarrow h \rightarrow a\)と見て、\(-afh\). しかし、この方法では４×４行列式において複雑に感じてしまう。余因子を用いた方法が無難に思える。
後のトピックでも記述するが、ロンスキアンは考察される区間で微分可能な関数が１次独立か１次従属かの判定量である。
２つの関数\(Y_{1}\)、\(Y_{2}\)で考えると、\(c_{1}Y_{1} + c_{2}Y_{2} = 0\)で両関数が１次独立であるならば、\(c_{1} = c_{2} = 0\)である。このとき、ロンスキアンはゼロではない。ロンスキアンを\(W\left(Y_{1},Y_{2}\right)\)とする。
\(W\left(Y_{1},Y_{2}\right) = \begin{array}{|cc|} Y_{1} & Y_{2} \\ \dfrac{dY_{1}}{dx} & \dfrac{dY_{2}}{dx} \end{array} = \begin{array}{|cc|} Y_{1} & Y_{2} \\ Y'_{1} & Y'_{2} \end{array} = Y_{1}Y'_{2} - Y_{2}Y'_{1} \neq 0\) ロンスキアンがゼロでないならば、関数は１次独立である。

行列で\(A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right),  \vec{x} = \left(\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right)\)とする。\(A\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)\)で \(\vec{x}\) が\(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)\)の自明な解を持つとき、行列\(A\)の逆行列が存在しなければならない。つまり、\(|A| \neq 0\)である。これをもって、先述の１次独立の場合のロンスキアンを示す。