１階線形微分方程式
まずは、完全微分方程式で学んだ積分因子の考えを利用した解法を説明する。
１階線形微分方程式の形は\(\dfrac{dy}{dx} + P(x)\ y = Q(x)\)--- ①であった。これを、微分形式に直すと\(\left(P(x)y - Q(x)\right)\ dx + dy = 0\)となる。\(\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial \left(p(x)y - Q(x)\right)}{\partial y} = P(x) , \dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial (1)}{\partial x} = 0\)である。\(\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) = P(x)\)で、\(y\)に依存しないので、積分因子を\(\mu(x)\)とする。\(\mu(x) = e^{f(x)} = e^{\int P(x) dx}\)である。ここで、①の両辺に\(\mu(x)\)を乗じる。\(\mu(x)\dfrac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)\)--- ②.次に、\((u(x)y)'\)を求めてみる。\(\dfrac {d(u(x)y)}{dx} = \mu(x)\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{d\mu(x)}{dx}y\)--- ③. ②の左辺と③の右辺を比較した時、思うだろう。\(\dfrac{d\mu(x)}{dx} = \mu(x)P(x)\)ではないかと。そこで、連鎖律の考えでやってみる。
\begin{align}
\dfrac{d\mu}{dx} = \dfrac{d\mu}{df(x)}\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{d}{df(x)}\left(e^{f(x)}\right)\dfrac{d}{dx}\left(\int P(x) dx\right) = e^{f(x)}P(x) = \mu(x)P(x)
\end{align}
これで、②の左辺と\((u(x)y)'\)が等しいことが分った。ゆえに、\(\dfrac{d}{dx}\left(\mu(x)y\right) = \mu(x)Q(x)\)が成り立つ。この帰結から、両辺を積分すれば、左辺では\(\mu(x)y\)が積分変数なので、左辺には\(\mu(x)y\)が出て、\(y\)について解くために、両辺を\(\mu(x)\)で除すれば、①の一般解が得られる。では、具体的に解いてみよう。
初期条件\(x = 0, y =1\) の下で、\(\dfrac{dy}{dx} - y = e^{x}\)を解く。\(P(x) = -1, Q(x) = e^{x}\)で\(\displaystyle f(x) = \int -1 dx = -x\)ゆえに、\(\mu(x) = e^{f(x)}=e^{-x}\).
\begin{align}
\dfrac{d}{dx}(e^{-x}y) &= e^{-x}e^{x} = 1 \\
\int d(e^{-x}y) &= \int dx \\
e^{-x}y &= x + C \\
y &= e^x(x + C) \\
y|_{x=0} &= e^0(0 + C) \\
1 &= C
\end{align}
特殊解：\(y = e^{x}(x + 1)\)
もう一つの解法で①の一般解を求める公式がある。公式だけを以下に示して上の問題の一般解を導出する。
\begin{align}
y &= e^{-\int P(x) dx}\left(\int e^{\int P(x) dx}\ Q(x)\ dx + C \right) \\
y &= e^{-\int (-1) dx}\left(\int e^{\int (-1) dx}e^{x} dx + C \right) \\
y &= e^{x}\left(\int e^{-x}e^{x} dx + C \right) \\
y &= e^{x}\left(x + C \right)
\end{align}
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