１階完全微分方程式
微分方程式の種類でも言及した１階完全微分方程式を取り上げる。
微分形式と呼ぶ形の\({\color{red}M(x,y)}dx + {\color{blue}N(x,y)}dy = 0\)を考える。これが、完全となる必要十分条件は\(\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}\)である。\(\partial\)が表す偏導関数は多変数関数において、ある一つの変数に着目して、その変数以外は定数として扱って微分することである。
経済学で使われる偏導関数の考えに着目した一つの例はミクロ経済学での需要曲線である。経済社会に存在する財・サービスの財が\(n\)個存在し、ゆえに、需要供給の法則を通じて決定される価格が\(n\)個存在する。これが、連関して全ての市場の均衡を図る、これがレオン・ワルラスの一般均衡理論である。従って需要関数\(D\)は価格\(P_{n}\)として、\(D = D\left(P_{1},P_{2}, P_{3},\cdots\cdots,P_{n}\right)\)と表現できる。しかし、これでは、あの、お馴染みの需要曲線は描けない。そこで、例えば、他の事情は一定にして、価格\(P_{1}\)を持つ財のみを考えると、\(D = D \left(P_{1},\overline{P_{2}},\overline{P_{3}},\cdots\cdots,\overline{P_{n}}\right)\)となる。これが一般との対比で部分均衡理論と呼ばれる。これを展開させたのがアルフレッド・マーシャルである。
さて、先の完全となる条件が満足されていれば、関数\(g(x,y)\)の全微分\(dg = \dfrac{\partial g}{\partial x}dx + \dfrac{\partial g}{\partial y}dy = {\color{red}M}dx + {\color{blue}N}dy\)が存在する。最後の項がゼロであるから、\(dg = 0\)の両辺を積分すれば
\(\displaystyle \int (1) dg = \int (0) dg \longrightarrow g(x,y) = C \)となる一般解が導出される。では、実際にどうやって解けばいいのだろうか？完全形ではなかったら？解法は実際に解いていった方が良いだろう。微分方程式の種類で例にあげた\(2xy\ dx + x^2\ dy = 0\)を解こう。これは完全であった。\(\dfrac{\partial(2xy)}{\partial y} = \dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x \)であるから。
\(M = 2xy,\ N = x^2\)である。\(\dfrac{\partial g}{\partial x} = M = 2xy\)で、これを\(x\)について積分して、その際の積分定数を\(h(y)\)とおき加える。\(g\)を\(x\)について偏微分した際、\(y\)のみの項は定数と看做され抜け落ちる。\(x\)について積分しても、その部分を復元できない。そのための方策である。
\begin{align}
g &= \int 2xy\ dx + h(y) \\
g &= x^2 y + h(y) ---\ ①
\end{align}
次に、上で求めた\(g\)で\(\dfrac{\partial g}{\partial y}\)を求める。
\begin{align}
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left[x^2 y + h(y)\right] =
x^2 + \dfrac{d h(y)}{d y}
\end{align}
\(\dfrac{\partial h(y)}{\partial y} = \dfrac{d h(y)}{dy}\)なのは\(h(y)\)が\(y\)のみの関数であるから。\(\dfrac{\partial g}{\partial y} = N\)であったから、
\begin{align}
x^2 + \dfrac{d h(y)}{d y} &= x^2 \\
\dfrac{d h(y)}{d y} &= 0 \\
\int (1) dh(y) &= \int (0) dy\\
h(y) &= A\ ---\ ②
\end{align}
②を①に代入して、\(g(x,y) = x^2y + A\)である。これは例で示していた\(g\)に一致する(定数の文字は違うが。)。しかし、一般解は\(dg = 0\)を積分して、\(g(x,y) = C\)であった。一般解は\(g(x,y)= x^2 y = C\)となる。
１階微分方程式 \(M\ dx + N\ dy = 0\)が完全でなかった場合を考える。この場合、\(\mu M\ dx + \mu N\ dy = 0\)として、元の微分方程式を完全形にする\(\mu(x,y)\)の積分因子なるものを見つけることが可能な場合がある。
\(\mu M\ dx + \mu N\ dy = 0\)が完全形であることから、\(\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}\)が成り立つ。積の微分公式を使って、
\begin{align}
\dfrac{\partial \mu}{\partial y}M + \dfrac{\partial M}{\partial y}\mu &= \dfrac{\partial \mu}{\partial x}N + \dfrac{\partial N}{\partial x}\mu \\
\mu \left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) &= \dfrac{\partial \mu}{\partial x}N - \dfrac{\partial \mu}{\partial y}M \\
\mu &= \dfrac{\dfrac{\partial \mu}{\partial x}N - \dfrac{\partial \mu}{\partial y}M} {\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}}
\end{align}
ここで、\(\mu(x)\)という\(\mu\)が\(x\)のみの関数と考える。そうなれば、上の分子で\(\dfrac{\partial \mu}{\partial y} = 0\)となる。\(\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)\)が\(y\)に依存しないとする。\(\mu\)は\(x\)のみに依存するので、\(\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = \dfrac{d\mu}{dx}\)となる。これを踏まえて、
\begin{align}
\mu &= \dfrac{\dfrac{d\mu}{dx}}{\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)} \\
\dfrac{1}{\mu} du &= \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) dx \\
\int \dfrac{1}{\mu} du &= \int \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) dx \\
\end{align}
ここで、右辺の積分を解かず、\(\displaystyle \int \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) dx = f(x)\)とおく。
\begin{align}
\ln {\mu} &= f(x) \\
\mu &= e^{f(x)}
\end{align}
対数で厳密には\(|{\mu}|\)としていないが、\(\mu \gt 0\)とみた。任意定数がついていないが、積分因子にはつけなくてよい。\(f(x)\)を計算して、\(k(x) + C'\)と出て、 \(\mu = e^{c'}e^{k(x)}=Ce^{k(x)}\) で \(C = 1\) としたものと考えればよい。
\(\mu(y)\)とみて、\(\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}\right)\)が\(x\)に依存しないとする。同様の議論で、\(\mu = e^{f(y)}\)となる。\(\displaystyle f(y) = \int \dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x} - \dfrac{\partial M}{\partial y}\right) dy\)である。一般に積分因子を見つけるのは厄介であろう。この２ケースは特別な場合と考えられる。積分因子には注意する点があるが、興味があればサイトを参照。
ここで、具体的に見てみる。\(y^2 - x^2 + xyy' = 0\)の微分方程式を解く。ただし、\(x \gt 0 , y(4) = 3\) とする。
まずは、微分形式に変形する。\((y^2 - x^2)\ dx + xy\ dy = 0 \). \(M = y^2 - x^2 , N = xy\)である。\(\dfrac{\partial M}{\partial y} = 2y\ ,\ \dfrac{\partial N}{\partial x} = y\)で与方程式は完全ではない。\(\dfrac{1}{N} \left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) = \dfrac{1}{xy}\left(2y - y\right) = \dfrac{1}{x}\) で\(y\)に依存しない。\(f(x)\)及び\(u(x)\)を求める。
\begin{align}
&f(x) = \int \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} - \dfrac{\partial N}{\partial x}\right) dx = \int \dfrac{1}{x} dx = \ln{x} \\
&\mu(x) = e^{f(x)} = e^{\ln {x}}= x
\end{align}
積分因子\(x\)を与微分方程式に乗じて、完全微分方程式にする。\((xy^2 - x^3)\ dx + x^2y\ dy = 0\).一応確認すると、\(\dfrac{\partial (xy^2 - x^3)}{\partial y} = 2xy\). \(\dfrac{\partial (x^2y)}{\partial x} = 2xy\). で完全である。
\begin{align}
g &= \int (xy^2 - x^3) dx + h(y) \\
g &= y^2 \int x dx - \int x^3 dx + h(y) = \dfrac{x^2y^2}{2} - \dfrac{x^4}{4} + h(y) \\
\dfrac{\partial g}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y}\left[\dfrac{x^2y^2}{2} - \dfrac{x^4}{4} + h(y)\right] = x^2y - 0 + \dfrac{\partial h}{\partial y} = x^2y + \dfrac{dh}{dy}
\end{align}
\(x^2y + \dfrac{dh}{dy} = x^2y(\because Nの部分)\)より、\(h(y) = C'\)であるが、前に記述したように、任意定数をまとめて、一般解は\(\dfrac{x^2y^2}{2} - \dfrac{x^4}{4} = C\)である。特殊解を求める。\(y\)について解き、条件を代入する。
\begin{align}
\dfrac{x^2y^2}{2} - \dfrac{x^4}{4} &= C \\
2x^2y^2 &= x^4 + 4C \\
y^2 &= \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{2C}{x^2} \\
y &= \sqrt{\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{2C}{x^2}} \\
\left. y\right|_{x=4} &= \sqrt{8 + \dfrac{C}{8}} \\
9 &= 8 + \dfrac{C}{8} \\
8 &= C
\end{align}
特殊解は \(\therefore y = \sqrt{\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{16}{x^2}}\)
▲ 文頭
カテゴリー