高校での理系専攻者が学ぶ数列極限において、はさみうちの定理を学ぶ。高校では直感でそうなるものとして練習するが、厳密に\(\varepsilon - N\)論法で証明しよう。定理を示し、初めて知る訪問者のために、はさみうちの利用法を具体的に示して、それがどういったものか体感してもらい、証明へと移る。
【はさみうちの定理】
全ての\(n\)に対して、\(a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}\)であり、\(a_{n} \rightarrow K\) かつ \(b_{n} \rightarrow K\) に収束するならば、\(x_{n} \rightarrow K\)へと収束する。
（利用法）
Example. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin {n}}{n} = 0\ \ \left(n \in \mathbb{N} \right) \)を証明せよ。
\(-1 \leq \sin {n} \leq 1\)より、\(-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin{n}}{n} \leq \dfrac{1}{n}\)である。 アルキメデスの性質にあったように、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0\)であった。公式での\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} k \cdot c_{n} = k\lim_{n \to \infty} c_{n} \) \(\ \left(kは定数\right)\)がある。\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( - \dfrac{1}{n} \right) = \left(-1\right) \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = -1 \cdot 0 = 0. \)
\(\displaystyle 0 \leq \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin {n}}{n} \leq 0\) \(\therefore \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin {n}}{n}= 0\)
[証明の舞台裏]
最終的には、任意の\(n \gt N\)に対して、\(|x_{n} - K| \lt \varepsilon \)を示せれば証明は終わる。数列\(a_{n}\)及び数列\(b_{n}\)は\(K\)に収束するのであるから、任意の\(n \gt N_{1}\)に対して、\(|a_{n} - K| \lt \varepsilon\)が成り立っており、それは\(K - \varepsilon \lt a_{n} \lt K + \varepsilon \)を意味した。同様に、任意の\(n \gt N_{2}\)に対して、\(|b_{n} - K| \lt \varepsilon\)が成り立っており、それは\(K - \varepsilon \lt b_{n} \lt K + \varepsilon \)であった。\(N_{1}, N_{2}\)と峻別している。明示していないが、\(N(\varepsilon)\)というように、ある自然数\(N\)は\(\varepsilon\)に依存するのであった。同じ\(\varepsilon\)を指定しても、数列の型が異なると考えているので、当然得られる、不等式を満足する、任意の\(n \gt N\)における\(N\)の最小の値も異なる。そうして、\(\max\)を用いて小さくない（大きい方の）\(N\)を取るようにすれば、一方が他方より大きい\(n\)を考えることになるので、両方の不等式を満足することになる。
具体例でみておきましょうか。数列\(c_{n}\)及び数列\(d_{n}\)がゼロに収束するとしよう。両数列が満足する範囲で考える。そのとき、任意の\(n \gt N_{1}\)に対して、\(|c_{n} - 0| \lt \varepsilon \)、任意の\(n \gt N_{2}\)に対して、\(|d_{n} - 0| \lt \varepsilon \)が成り立つ。\(c_{n} = \dfrac{1}{n}\)---①と\(d_{n} = \dfrac{1}{n^{2}}\)---②で考えてみる。そうして、\(\varepsilon = \dfrac{1}{10000}\)としよう。計算すると①では\(n \gt 10000 \)であるから、\(N_{1} = 10000\)とおけばいい。②では\( n \gt 100 \)で\( N_{2} = 100\)とおけばよい。①、②の両方を満足するには、当然、\(N = 10000\)としなくてはならない。\(N = 100\)では①において、\(n = 101\)としたとき、\( \left| \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{101} - 0 \right| = \dfrac{1}{101} \gt \varepsilon = \dfrac{1}{10000} \)となり、不等式が成立しないからである。(\(n \gt N\)での全ての\(n\)が対象であることに注意.) 本題へ帰ろう。
\(N = \max\{N_{1}, N_{2}\}\)として、\(N\)を通り過ぎた（超えた）地点での\(x_{n}\)の位置関係は２つ考えられる。\(K\)より小さいか、大きいかである。\(K\)より小さい場合、\(a_{n} \leq x_{n} \)であるから、\(K - \varepsilon \lt a_{n} \leq x_{n}\)が成り立つ。\(K\)より大きい場合、\(x_{n} \leq b_{n} \)であるから、\(x_{n} \leq b_{n} \lt K + \varepsilon\)が成り立つ。この２つの事実を結合すれば、\(K - \varepsilon \lt a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n} \lt K + \varepsilon\)となる。すなわち、\(K - \varepsilon \lt x_{n} \lt K + \varepsilon\)であり、最終的に\(|x_{n} - K| \lt \varepsilon \)を示したことになる。別の見方でのポイントは両数列が収束する\(K\)を中心点にとって半径\(\varepsilon\)を持つ円を描くことを考える。\(N = \max\{N_{1}, N_{2}\}\)として、任意の\( n \gt N \)について、両数列が、その描かれた円の周上を含まない内部 (\(\varepsilon\)-近傍という)に収まることを意味する。そして、数列\(\{x_{n}\}\)も同様のことが言い得るということである。
【証明】
数列\(\{a_{n}\}\)は\(K\)に収束することから、任意の\(\varepsilon \gt 0 \)対して、全ての\(n \gt N_{1} \in \mathbb{N}\)について、\(| a_{n} - K | \lt \varepsilon\)が成り立っている。すなわち、\( K - \varepsilon \lt a_{n} \lt K + \varepsilon \) ---① と表現できる。同様の議論で、数列\(\{b_{n}\}\)についても、任意の\(\varepsilon \gt 0 \)対して、全ての\(n \gt N_{2} \in \mathbb{N}\)について、\(| b_{n} - K | \lt \varepsilon\)が成り立っている。そして、\( K - \varepsilon \lt b_{n} \lt K + \varepsilon \) ---② と表現できる。
数列\(\{x_{n}\}\)とそれら数列との関係式は、全ての\(n\)について、\(a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}\)となっている。この事実と①及び②を関係づけるならば、\(N = \max\{N_{1} , N_{2}\} \)として、任意の\(\varepsilon \gt 0 \)に対して、全ての\(n \gt N\)について、\( K - \varepsilon \lt a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n} \lt K + \varepsilon \)が成り立っている。この関係式より、\( K - \varepsilon \lt x_{n} \lt K + \varepsilon \)と表現できる。すなわち、\(| x_{n} - K | \lt \varepsilon \)が成り立ち、数列\(\{x_{n}\}\)も\(K\)へ収束することが示された。 (証明了)
参考文献及び参照先：Jay Cummings "Real Analysis" ＜English Book＞