高校の極限から大学の極限へ(ε‐δ論法)
ε‐δ論法をちょっと紹介しよう。\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)＝b\)で考えてみる。高校では関数 f(x) でx がａと異なる値をとりながら、
ａに限りなく近づくとき、ｆ(ｘ)が一定値ｂに限りなく近づく場合、ｘ がａに近づくときのｆ(ｘ）の極限はｂである、
というものであった。「限りなく」、「近づく」という言葉は直観的・主観的である。「ｘがａに限りなく近づく」という状態はｘを
表す点とａを表す点との距離が限りなく小さくなる状態であることがわかる。まず、ｘとａの距離は絶対値記号を用いて、
｜ｘ－ａ｜( 数直線上でｘ＝－５、ａ＝ ２だとすると、その距離は７である。ｘ < ａだから、
｜ｘ－ａ｜＝－(ｘ－ａ）＝－{(－５)－２｝＝７ということ）。｜ｘ－ａ｜という量が限りなく小さくなるとは、
どんなに小さい正数ｄを与えても、｜ｘ－ａ｜はｄよりも小さくなることであるから、任意の正数ｄに対して
｜ｘ－ａ｜ < ｄが成り立つ(任意の正数ｄとは好き勝手に、（このケースでは）いくらでも小さくとれる正数ｄ）。
そして、ｘはａと異なる値を取るのであるから、０ < ｜ｘ－ａ｜ < ｄとなる。「ｆ(ｘ）がｂに限りなく小さく近づく」
という状態は、任意の正数ｒに対して、｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ｒが成り立つ。
これはｆ(ｘ）とｂが一致しても構わないので、｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ｒ以外には何の制約条件はつかない。
ここがさらに重要であるが、ｘ がａに近づくということは、ｆ(ｘ）の極限がｂにならなくても、
ｂになっても関係なく、いつでも操作できる。しかし、ｆ(ｘ）がｂに近づくのは、ｆ(ｘ）の極限がｂのときだけである。
すなわち、任意の正数ｒに対して、｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ｒが成り立つことが、\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)＝b\)の決め手となっている。
では、「ｘがａに限りなく近づく」という不等式の部分は何を意味するのか。それは、その決め手となる不等式
｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ｒが成り立つようなｘの範囲を指定しているということ。すると、\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)＝ｂ\)になるのは、
問題の決め手の不等式が成り立つような、０ < ｜ｘ－ａ｜ < ｄというｘの範囲が見つかるということ。そうでなければ、
いくらｘをａに近づけても、ｆ(ｘ）がｂに近づくとは言い得ない。まとめると、
『 \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)＝b\)というのは、どんな正数ｒをもってきても、そのｒに対して、いつでもｄという正数が見つかって、
０ < ｜ｘ－ａ｜ < ｄという範囲のｘに対して、｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ｒが成り立つ。』を意味する。
ここでｒの代わりにε、ｄの代わりにδを用いて表現するならば、任意のε > ０に対して、δ > ０が存在して、
｜ｆ(ｘ）－ｂ｜ < ε（０ < ｜ｘ－ａ｜ < δ）が成り立つとき、ｘがａに近づくときのｆ(ｘ）の極限はｂであるといい、
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=b\)または \(x \to ａ\) のとき \(ｆ(ｘ) \to b\)と書く。具体的なテクニックの例を示そう。
問題 \(\displaystyle \lim_{x \to 2} x^3＝8\)を証明せよ。
まず、舞台裏を見てみよう。以下では三角不等式 \(|x + y | \leqq |x| + |y| \) を利用している。
\begin{align}
\left| x^3 - 8 \right| &=\ \left| \left\{\left(x - 2 +2 \right)^3 - 8 \right\} \right| \\
&=\ \left|\left(x -2 \right)^3 + 6 \left(x - 2 \right)^2 + 12 \left(x - 2 \right) + 8 - 8 \right| [∵(a+ b)^3
= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3] \\
&\leqq \ \underset{\huge ①}{\underline{\left|x - 2 \right|^3}} +\underset{\huge ②}{\underline {6 \left|x - 2 \right|^2}}
+ \underset{\huge ③}{\underline {12 \left|x - 2 \right|}}
\end{align}
\(x\)は２ではない実数で、２に近づくので、 \(0 \lt \left|x - 2 \right| \lt \delta \)である。これより、
\(① \lt \delta ^3 \), \(② \lt 6 \delta ^2 \), \(③ \lt 12 \delta \) であり、
\(\left| x^3 - 8 \right| \lt \delta ^3 + 6 \delta ^2 + 12 \delta \)となり、さらに、\(\delta \leqq 1\)と
考えると、\(\delta \leqq 1 \Rightarrow \delta ^2 \leqq \delta \Rightarrow \delta ^3 \leqq \delta^2 \)であるから、
\(\delta ^3 \leqq \delta ^2 \leqq \delta \)が分り、\(\delta ^3 + 6 \delta ^2 + 12 \delta \leqq \delta + 6 \delta
+ 12 \delta = 19 \delta \) が得られる。つまり、\(\left| x^3 - 8 \right| \lt 19 \delta \) で、
ここで、\(\delta \leqq \dfrac{\varepsilon}{19}\)とすれば、\(\left| x^3 - 8 \right| \lt \varepsilon \)という問題の決め手
となる不等式が導出される。これを基にして、正式な証明を示す。
\(\left(\large {証\ 明}\right)\)
\begin{align}
\varepsilon \gt 0に対して、 \delta = \min \left\{1 , \dfrac{\varepsilon}{19} \right\}をとると、\\
\delta \gt 0で、0 \lt \left|x - 2\right| \lt \delta のとき \\
\left| x^3 - 8 \right| &=\ \left|\left(x -2 \right)^3 + 6 \left(x - 2 \right)^2 + 12 \left(x - 2 \right)\right| \\
&\leqq \ \left|x - 2 \right|^3 + 6 \left|x - 2 \right|^2+ 12 \left|x - 2 \right| \\
&\lt \delta^3 + 6 \delta^2 + 12 \delta \\
ここで、 0 \lt \delta \leqq 1 であるから、 \delta ^3 \leqq \delta ^2 \leqq \delta \ で、
\left|x^3 - 8 \right| \lt 19 \delta \ と表現できる。\\
また、\delta \leqq \dfrac{\varepsilon}{19}だから、結局、0 \lt \left|x - 2 \right| \lt \delta のとき、
\left|x^3 - 8 \right| \lt \varepsilon \\
この議論は任意の\ \varepsilon \gt 0\ に対して成り立つから、\displaystyle \lim_{x \to 2} x^3 = 8\ である。\\
\left(\large {証明了}\right)
\end{align}
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