コーシー列が有界であることを証明する。その前に、通常の収束する数列が有界であることを再度、証明したい。以前のコラムにても収束する数列は有界であることを書いたが、分かりづらいところもあったので、少々、かみ砕いて記したい。
定義：数列\(a_{n}\)が有界である場合、ある\(M \gt 0\)が存在して、全ての\(n \in \mathbb{N}\)について、\(| a_{n} | \leq M \)を満足している。
\(| a_{n} | \leq M \)は\( -M \leq a_{n} \leq M \)である。仮に負数\(C\)があって、\(- C \gt 0 \)である。定義より、\( C \leq a_{n} \leq - C \)であり、\(- C = M \)とおけば、\( -M \leq a_{n} \leq M \)である。証明で\(A \leq a_{n} \leq B\)の不等式が得られるが、\(B \)の符号を論じる必要はない。また、\( -B \leq A \leq a_{n} \leq B \)あるいは\(A \leq - B \leq a_{n} \leq B \)のどちらかであるから、いずれも、\(| a_{n} | \leq B \)が言い得る。ゆえに、\(A \leq a_{n} \leq B\)の不等式から『有界である』と結論づけできる。
自然数\(N\)は数列が収束するなら、\(\varepsilon\)を本当にスーパー小で考えると、\(N\)はスーパー大になる。だが、\(n \leq N \)では、\(a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} \)というように有限個しかない。きちんと最後まで数えることができるということ。有限個であれば最小値、最大値が当然存在する。\( n \gt N \)では\(a_{N+1} , a_{N+2} , \cdots \cdots \)というように最後まで数え切ることはできない。つまり無限個である。このままでは最小、最大の議論ができない。そこで、\(\varepsilon\)に値をつけ、\(a_{n} \left[ n \gt N \right] \)が取り得る範囲を限定させる。そして、トリッキーだが、その最左方と最右方の部分を最小値、最大値に含めることをする。そうすることで、無限個を有限個の議論に変えてしまうのである。そのような観点から、まず、収束する数列が有界であることを証明する。
【証明】
数列\(a_{n}\)が収束して極限値が\(a\)である場合は次のことが言えた。任意の\(\varepsilon \gt 0\)で、ある\(N \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\(n \gt N\)について、\(| a_{n} - a | \lt \varepsilon \)が成り立つ。ここで、\(\varepsilon = 1\)とする。このとき、全ての\(n \gt N\)について、\( a - 1 \lt a_{n} \lt a + 1 \)が成り立つ。\( n \leq N \)においては、\(a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} \)があり、有限個であるから、最大値が存在する。\( a + 1\)を含めて、最大値\(M \)として、\( M = \max \left\{a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} , a + 1 \right\} \)とおく。
また、同様に考えて、\( n \leq N \)においては、\(a_{1},a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} \)があり、有限個であるから、最小値が存在する。\( a - 1\)を含めて、最小値\(L\)として、\( L = \min \left\{a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots ,a_{N} , a - 1 \right\} \)とおく。
\( n \leq N \)において、\(a_{n} \)は\(a_{1},a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} \)のどれかであり、\( L \leq a_{n} \leq M \)と表現できる。\( n \gt N \)では、\( L \leq a - 1 \lt a_{n} \lt a + 1 \leq M \)を満足し、\( L \lt a_{n} \lt M\)と表現できる。\( n \leq N \)と\( n \gt N \)の場合を結びつけると、全ての\( n \in \mathbb{N} \)について、\( L \leq a_{n} \leq M \)が成り立つことが示される。ゆえに、収束する数列は有界である。(証明了)
以上の証明の議論が、コーシー列が有界であることを証明する議論と似ている。上述のように、\(\varepsilon\)を固定してもコーシー列では、\(\varepsilon\)から決定される自然数が２つ存在する。一方が一種、固定化された値を考えて、上のような証明にもっていくことが鍵である。コーシー列が有界であることを証明する。
【証明】
数列\(a_{n}\)をコーシー列とする。\(\varepsilon = 1\)とおく。全ての\( n , m \gt N\)について、\( |a_{n} - a_{m}| \lt 1 \)が成り立つ。ここで、全ての\(n \gt N\)について、\(|a_{n} - a_{N+1}| \lt 1\)と表現しても一般性は失われない。すなわち全ての\(n \gt N\)について、\( a_{N+1} - 1 \lt a_{n} \lt a_{N+1} + 1\)と表現できる。\(n \leq N\)では、\(a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} \)で有限個である。最大値\(U\)、最小値\(L\)とおく。
\(U = \max \left\{a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} , a_{N+1} + 1 \right\}\ , L = \min \left\{a_{1}, a_{2} , a_{3} , \cdots \cdots , a_{N} , a_{N+1} - 1 \right\} \)になる。結局、全ての\( n \in \mathbb{N}\)について、\( L \leq a_{n} \leq U \)が成り立つ。コーシー列は有界である。
参考文献：Jay Cummings "Real Analysis" ＜English Book＞