定理
数列が収束する必要十分条件は、数列がコーシー列になっていることである。
論じる数列を\(\left\{a_{n}\right\}\)とする。
① 数列が収束するならば、その数列はコーシー列である。
証明) 数列\(\left\{a_{n}\right\}\)が収束すると仮定する。そうして、とる極限値を\(\alpha \in \mathbb{R}\)とおく。任意の\(\varepsilon \gt 0 \)で、\(\dfrac{\varepsilon}{2} \gt 0 \)に対して、ある\(N \in \mathbb{N} \)が存在して、全ての\( n \gt N \)について、\(|a_{n} - \alpha | \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)が成り立つ。\(n , m \in \mathbb{N}\)として、すべての\(n , m \gt N \)について、
\begin{align}
|a_{n} - a_{m}| &= |a_{n} - \alpha + \alpha - a_{m}| \\
&=|a_{n} - \alpha + \left\{-(a_{m} - \alpha)\right\}| \\
&\leq |a_{n} - \alpha| + |\left\{-(a_{m} - \alpha)\right\}| \\
&= |a_{n} - \alpha| + |-1||a_{m} - \alpha| \\
&= |a_{n} - \alpha| + |a_{m} - \alpha| \\
&\lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \\
&= \varepsilon \ \ \ \ \ \ \ \therefore |a_{n} - a_{m}| \lt \varepsilon
\end{align}
したがって、数列が収束するならば、それはコーシー列である。①は成り立つ。
② 数列がコーシー列であるならば、その数列は収束する。
証明) 数列\(\left\{a_{n}\right\}\)をコーシー列とする。コーシー列であるなら、前のコラムで読まれたように数列\(\left\{a_{n}\right\}\)は有界である。また、部分列とその極限でのボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理で見たように、任意の有界な数列には収束する部分列が存在する。この事実を念頭におく。
任意の\(\varepsilon \gt 0 \)に対して、\(\dfrac{\varepsilon}{2} \gt 0 \)であり、ある\(N_{1} \in \mathbb{N} \)が存在して、全ての\(n , m \gt N_{1} \)について、\(|a_{n} - a_{m}| \lt \dfrac{\varepsilon}{2}\ \ \cdots \Box \) が成り立つ。
数列\(\left\{a_{n}\right\}\)が有界であるから、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理から、ある部分列が収束し、\(\large a_{n_{j}} \to \alpha \in \mathbb{R} \)とする。任意の\(\dfrac{\varepsilon}{2} \gt 0 \)に対して、ある\(N_{2} \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\( j \gt N_{2} \)に対して、部分列の定義からの\(\large n_{j} \ge j\)より\(\large |a_{n_{j}} - \alpha| \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \ \ \cdots \blacksquare \) が成り立つ。
\(\Box \)と\(\blacksquare \)の不等式を成り立たせる、全ての[\(m , n , n_{j}\)]を満足するように\(J \in \mathbb{N} = \max \left\{N_{1} , N_{2}\right\}\)を選ぶ。\( n_{j} \ge j\)に留意すると、\(\large n_{J+1} \ge J +1 \gt J \rightarrow \large n_{J+1} \gt J \)が成り立つ。(※\(\large n_{J+1}\)のインデックスを持つ数列\(\left\{a_{n}\right\}\)の項は上の不等式を満足する項に含まれることを確認した。)
任意の\( j \gt J \)について、
\begin{align}
|a_{j} - \alpha| &= |a_{j} - a_{n_{j+1}} + a_{n_{j+1}} - \alpha | \\
&\leq |a_{j} - a_{n_{j+1}}| + |a_{n_{j+1}} - \alpha |\ \ \Box , \blacksquare の形に変形 \\
&\lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \\
&= \varepsilon
\end{align}
これにより、②が証明された。①、②よりコーシー列は数列が収束するための必要十分条件である。
参考文献：Jay Cummings "Real Analysis" ＜English Book＞