数列の極限値があると知って収束を考えてきた。では、極限値がどんなものか分からず、数列の型から数列が収束することを判定することが可能か？それを可能にするのが、"コーシーの判断基準(the Cauchy criterion)"と呼称されるものである。
数列\(\{a_{n}\}\)が極限値\(a\)に収束するということは、任意の\(\varepsilon \gt 0\)に対して、ある\(N \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\(n \gt N\)について、\(|a_{n} - a | \lt \varepsilon\)という不等式を満足するということであった。
数列が収束する様態をよく吟味してみる。\(a\)を中心にして、半径\(\varepsilon\)を持つ円を考える。任意の\(n \gt N_{1}\)に対して、先述の不等式を満足する\(a_{n}\)は周上を含まない円の内部に全て格納されている。個々の\(a_{n}\)の２点、例えば\(a_{p}\)、\(a_{q}\) [ \(p , q \ge n \gt N_{1} \) ]の距離を考えると、２点がそれぞれ円の直径の両端近くにある場合が最大で、以外の場合を考慮しても、\(|a_{p} - a_{q}| \lt 2 \varepsilon\)が成り立つ。ここで、( \( \lt \varepsilon \) )ときちんとしたいために、以下を考える。
元の不等式において、\(\varepsilon\)を\(\dfrac{\varepsilon}{2}\)となるように、新たな\(N \in \mathbb{N}\)を指定して、全ての\(n \gt N\)について、\(|a_{n} - a | \lt \dfrac{\varepsilon}{2}\)が成り立つ。そして、全ての\( p , q \gt N \)について、
\begin{align}
|a_{p} - a_{q}| &= |a_{p} - a + a - a_{q}| \\
&= |a_{p} - a + \{-( a_{q} - a )\}| \\
&\leq | a_{p} - a | + | -( a_{q} - a ) | \ \ \ \because | \alpha + \beta | \leq |\alpha | + | \beta |\\
&= | a_{p} - a | + | - 1 || a_{q} - a | \ \ \ \because |\alpha \cdot \beta | = |\alpha ||\beta| \\
&\lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \\
&= \varepsilon \\
&\therefore |a_{p} - a_{q}| \lt \varepsilon
\end{align}
ここで、\(p\)を\(n\)、\(q\)を\(m\)に読み替えて、以下の定義がなされる。
【定義】
数列\(\{a_{n}\}\)がコーシー列であるとは、任意の\(\varepsilon \gt 0 \)に対して、ある\(N \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\( n, m \gt N\)について、\(|a_{n} - a_{m}| \lt \varepsilon\)が成り立つ数列である。
練習問題：\( \left\{ 4 + \dfrac {1}{n} \right\} \)がコーシー列であることを示せ。
\( a_{n} = 4 + \dfrac {1}{n} \ , a_{m} = 4 + \dfrac {1}{m} . \) 任意の\(\varepsilon \gt 0 \)に対して、\(N \in \mathbb{N}\)が存在して、全ての\(n , m \gt N\)について、\(| a_{n} - a_{m} | \lt \varepsilon \)が成り立つことを示す。\(| a_{n} - a_{m} | = \left| 4 + \dfrac {1}{n} - \left( 4 + \dfrac {1}{m} \right) \right| = \left| \dfrac{1}{n} +\dfrac{-1}{m} \right | \leq \left| \dfrac{1}{n} \right| + \left|\dfrac{-1}{m}\right| = \left| \dfrac{1}{n} \right| + \left|-1 \right| \left|\dfrac{1}{m}\right| = \left| \dfrac{1}{n} \right| + \left|\dfrac{1}{m}\right| \)
アルキメデスの性質では、実数\(a ( \gt 0)\)と\(b\)があって、\( a \cdot n \gt b \)を満足する、自然数\(n\)が存在する。ここで、\(a = \dfrac{\varepsilon}{2} , b = 1 \)とおくと、\( \dfrac{1}{n} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)が成り立つ。\(n , m \gt N\)から、\(\dfrac{1}{n} , \dfrac{1}{m} \lt \dfrac{1}{N}\)が言える。ゆえに、
\(\left| \dfrac{1}{n} \right| + \left|\dfrac{1}{m}\right| \lt \dfrac{1}{N} + \dfrac{1}{N} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \ \ \ \ \therefore \left\{ 4 + \dfrac {1}{n} \right\}\)はコーシー列である。
参考文献：Jay Cummings "Real Analysis" ＜English Book＞